混沌时间序列处理之第一步：相空间重构方法综述

-1-第1章相空间重构第1章相空间重构..................................................................................................................11.1引言.............................................................................................................................21.2延迟时间τ的确定.....................................................................................................31.1.1自相关函数法...................................................................................................41.1.2平均位移法.......................................................................................................41.1.3复自相关法.......................................................................................................51.1.4互信息法...........................................................................................................61.2嵌入维数m的确定.....................................................................................................71.2.1几何不变量法...................................................................................................71.2.2虚假昀近邻点法...............................................................................................81.2.2伪昀近邻点的改进方法－Cao方法...............................................................91.3同时确定嵌入维和延迟时间....................................................................................101.3.1时间窗长度.....................................................................................................101.3.2C-C方法.........................................................................................................101.3.3改进的C-C方法...........................................................................................121.3.4微分熵比方法.................................................................................................141.4非线性建模与相空间重构........................................................................................141.5海杂波的相空间重构................................................................................................151.6本章小结....................................................................................................................161.7后记...........................................................................................................................16参考文献..........................................................................................................................17-2-1.1引言一般时间序列主要是在时间域或变换域中进行研究，而在混沌时间序列处理中，无论是混沌不变量的计算、混沌模型的建立和预测都是在相空间中进行，因此相空间重构是混沌时间序列处理中非常重要的第一步。为了从时间序列中提取更多有用信息，1980年Packard等人提出了用时间序列重构相空间的两种方法：导数重构法和坐标延迟重构法[1]。从原理上讲，导数重构和坐标延迟重构都可以用来进行相空间重构，但就实际应用而言，由于我们通常不知道混沌时间序列的任何先验信息，而且从数值计算的角度看，数值微分是一个对误差很敏感的计算问题，因此混沌时间序列的相空间重构普遍采用坐标延迟的相空间重构方法[2]。坐标延迟法的本质是通过一维时间序列{()}xn的不同时间延迟来构造m维相空间矢量：{(),(),,((1))}xixiximττ=++−x(i)(1.1)1981年Takens等提出嵌入定理：对于无限长、无噪声的d维混沌吸引子的标量时间序列{()}xn，总可以在拓扑不变的意义上找到一个m维的嵌入相空间，只要维数21md≥+[3]。Takens定理保证了我们可以从一维混沌时间序列中重构一个与原动力系统在拓扑意义下等价的相空间，混沌时间序列的判定、分析与预测是在这个重构的相空间中进行的，因此相空间的重构是混沌时间序列研究的关键[2]。1985年Grassberger和Procaccia基于坐标延迟法，提出了关联积分的概念和计算公式，该方法适合从实际时间序列来计算混沌吸引子的维数，被称作G-P算法[4]。G-P算法是混沌时间序列研究中的一个重要突破，从此对混沌时间序列的研究不仅仅局限于已知的混沌系统，而且也扩展到实测混沌时间序列，从而为混沌时间序列的研究进入实际应用开辟了一条道路[2]。坐标延迟相空间重构技术有两个关键参数：即嵌入维m和时间延迟τ的确定。在Takens定理中，对于理想的无限长和无噪声的一维时间序列，嵌入维m和时间延迟τ可以取任意值，但实际应用昀后等时间序列都是含有噪声的有限长序列，嵌入维数和时间延迟是不能任意取值，否则会严重影响重构的相空间质量。有关时间延迟与嵌入维的选取方法，目前主要有两种观点。一种观点认为两者是互-3-不相关的，先求出时间延迟后再求出选择合适的嵌入维。求时间延迟τ比较常用的方法有自相关法[5]、平均位移法[5]、复自相关法[6]和互信息法[7,8]等，目的是使原时间序列经过时间延迟后可以作为独立坐标使用。一个好的重构相空间是使重构后的吸引子和系统真正的吸引子尽可能做到拓扑等价，目前寻找昀小嵌入维的方法主要是几何不变量法[9]、虚假昀临近点法[10](FNN)和它的改进形式Cao方法[11]。另一种观点认为时间延迟和嵌入维是相关的，1996年Kugiumtzis提出的时间窗长度是综合考虑两者的重要参数[12]。1999年，Kim等人基于嵌入窗法的思想提出了C-C方法，该方法使用关联积分同时估计出时延与嵌入窗[13]。C-C方法也是实际时间序列中比较常用的方法，针对该方法的缺陷，国内学者作了相应的改进[14,15]。以上讨论的主要是求混沌不变量如关联维、Lyapunov指数、Kolmogorov熵或复杂度的常用相空间重构方法，重构的目标是重构吸引子和真正吸引子的近似程度达到全局昀优。但由于无法得到混沌时间序列关于相空间重构的先验知识，因此上面提到的方法都具有一定的主观性[16]。目前并没有一种适合各种混沌时间序列的通用相空间重构方法，各种新的重构方法也不断被提出[17]，甚至有学者提出不需要进行重构直接描述系统混沌特征的新方法[18,19]，但他们的可靠性有待于进一步验证[20,21]。另外虽然均匀嵌入这种全局昀优算法能保证求得的混沌不变量能体现系统全局特征，但不能达到很好的局部预测效果。从混沌时间序列建模和预测的角度，Judd和Small提出非均匀嵌入和可变嵌入等将非线性建模和相空间重构相结合的方法[22-25]，可变嵌入方法也在不断发展中[26]。本章中各节主要内容如下：1.2节介绍确定时间延迟τ的常用方法，1.3节介绍确定嵌入维m的常用方法，1.4节介绍同时确定τ和m的时间窗长度方法，1.5节介绍如何将相空间重构和非线性建模相结合。1.6节为本章的重点内容，首先介绍海杂波的特点以及各种相空间重构方法处理后的结果，接着指出海杂波在相空间中表现出不完全混沌也不完全随机的特性，昀后讨论噪声和采样间隔对相空间重构的影响。1.7节为本章小结。1.2延迟时间τ的确定时间延迟τ如果太小，则相空矢量{(),(),,()}xixiximττ=−−x(i)中的任意两个分量()xijτ−和((1))xijτ−+在数值上非常接近，以至于无法相互区分，从而无法提供两个独立的坐标分量；但如果时间延迟τ太大的话，则两坐标在统计意义上又是完全独立-4-的，混沌吸引子的轨迹在两个方向上的投影毫无相关性可言。因此需要用一定的方法来确定一个合适的τ值，目前确定τ的主要方法为序列相关法和相空间几何法。1.1.1自相关函数法自相关法为序列相关法的一种，利用自相关函数选取延迟时间后，使得重构后的时间序列元素之间的相关性降低，同时尽可能使原序列动力学特征不丢失。对于连续变量()xt，其自相关函数(Autocorrelationfunction)定义为22()lim()()TTTCxtxtdtττ→∞−=+∫(1.2)其中τ是时间的移动值，表示两时刻(t和tτ+)的相互关联程度。当()xt的幅值一定时，()Cτ越大，则意味着()xt和()xtτ+越相似。因此一般()xt和()xtτ+的自相关函数()Cτ随着τ的增加而逐渐变小，直至趋于零。自相关函数是非常成熟的求时间延迟τ的方法，它主要是提取序列间的线性相关性。对于混沌时间序列12,,,,nxxx，可以先写出其自相关函数，我们设总点数为N，则序列{}nx在时间跨度为τ时的自相关函数为101()NxxiiiRxxNττ−+==∑(1.3)我们使用实际观测数据做出自相关函数随延迟时间τ变化的函数图像，当自相关函数下降到初始值的11/e−时，所得的时间τ就是重构相空间的时间延迟τ[5]。虽然自相关函数是是一种简便有效的计算延迟时间的方法，但它仅能提取时间序列间的线性相关性。如根据自相关函数法得到的τ可分别让