数学建模时间序列方法

§9.2随机时间序列分析模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性二、随机时间序列模型的平稳性条件三、随机时间序列模型的识别四、随机时间序列模型的估计五、随机时间序列模型的检验•经典计量经济学模型与时间序列模型•确定性时间序列模型与随机性时间序列模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性1、时间序列模型的基本概念随机时间序列模型（timeseriesmodeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（t=t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：Xt=Xt-1+t这里，t特指一白噪声。一般的p阶自回归过程AR(p)是Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯AR(p)过程（pureAR(p)process），记为Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（movingaverage）过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2--qt-q该式给出了一个纯MA(q)过程（pureMA(p)process）。将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressivemovingaverage）过程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。•经典回归模型的问题：•迄今为止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为结构式模型（structuralmodel）。•然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。•有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。2、时间序列分析模型的适用性例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？或者时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？●随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势。使用时间序列分析模型的另一个原因在于：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。例如，对于如下最简单的宏观经济模型：这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。Ct与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资It的运动及随机扰动项t的变化决定的。tttCYC12110tttICY上述模型可作变形如下：•两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。•如果It是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一个1阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。ttttICC1111011211111tttttIIYY11121101121111111二、随机时间序列模型的平稳性条件自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容：主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。1、AR(p)模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断。如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。考虑p阶自回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)•引入滞后算子（lagoperator）L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式变换为(1-1L-2L2-…-pLp)Xt=t记(L)=(1-1L-2L2-…-pLp),则称多项式方程(z)=(1-1z-2z2-…-pzp)=0为AR(p)的特征方程(characteristicequation)。可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的。例9.2.1AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)tttXX1方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差)(2)()()(122122tttttXEEXEXE由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：22201X在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有||1。而AR(1)的特征方程01)(zz的根为z=1/AR(1)稳定，即||1，意味着特征根大于1。例9.2.2AR(2)模型的平稳性。对AR(2)模型ttttXXX2211方程两边同乘以Xt，再取期望得：)(22110ttXE又由于222211)()()()(tttttttEXEXEXE于是222110同样地，由原式还可得到0211212011于是方差为)1)(1)(1()1(21212220由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有1+21,2-11,|2|1这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。2(0,1)1(-2,-1)(2,-1)图9.2.1AR(2)模型的平稳域对应的特征方程1-1z-2z2=0的两个根z1、z2满足：z1z2=-1/2,z1+z2=-1/2ttttXXX2211AR(2)模型解出1，22121zz21211zzzz由AR(2)的平稳性，|2|=1/|z1||z2|1，则至少有一个根的模大于1，不妨设|z1|1，有1)11)(11(112121212121zzzzzzzz0)11)(11(21zz于是|z2|1。由2-11可推出同样的结果。对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：1+2++p1(2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：|1|+|2|++|p|1对于移动平均模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中t是一个白噪声，于是2、MA(q)模型的平稳性0)()()()(11qqtttEEEXE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1(varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q3、ARMA(p,q)模型的平稳性而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA(p,q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，不是平稳的。最后（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；（2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressiveintegratedmovingaverage）时间序列，记为ARIMA(p,d,q)。例如，一个ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。当然，一个ARIMA(p,0,0)过程表示了一个纯AR(p)平稳过程；一个ARIMA(0,0,q)表示一个纯MA(q)平稳过程。三、随机时间序列模型的识别所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相关函数（partialautocorrelationfunction，PACF）。1、AR(p)过程(1)自相关函数ACF1阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+t的k阶滞后自协方差为：011))((kkttktkXXE=1,2,…因此，AR(1)模型的自相关函数为kkk0=1,2,…由AR(1)的稳定性知||1，因此，k时，呈指数形衰减，直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinitememory）。注意，0时，呈振荡衰减状。Xt=1Xt-1+2Xt-2+t该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为２阶自回归模型AR(2)2221100211212011类似地,可写出一般的k期滞后自协方差：22112211))((kktttktkrXXXE(K=2,3,…)于是,AR(2)的k阶自相关函数为：2211kkk(K=2,3,…)其中:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)稳定，则由1+21知|k|衰减趋于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看AR(2)特征根的实虚性，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。一般地，p阶自回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+tk期滞后协方差为:pkpkktptpttKtkXXXXE22112211))((从而有自相关函数:pkpkkk