数学物理方法3-4

P61.1P62.5.2P82.3求解无限长细杆的热传导（无热源）问题200,(,0)|()txxtuauxtux=−=−=【解】作傅氏变换，[(,)](,)uxtUt=F[()]()x=F定解问题变换为22(,)0(,0)()UaUtU+==常微分方程的初值问题的解是22(,)()atUte−=再进行逆傅里叶变换，22221iii1(,)[(,)]()d2π1[()d]d2πatxatxuxtUteeeee−−−−−−−===F交换积分次序得22i()1(,)()[d]d2πatxuxtee−−−−=引用积分公式22224πd()eee−−=且令,i()atx==−以便利用积分公式，即得到22()41(,)()[]d2πxatuxteat−−−=P83.9第三章：用积分变换解下列问题：=+====.0,1,0,1,0,0,1002xuyyuyxyxuyx解：令dxeyxuysusx−+=0),(),(~对泛定方程关于变量x取拉普拉斯变换得suLxy1][=由拉普拉斯变换的定义及微分性质，有1~1),(~),0(),(][),(),(][00−=−−=−====−+−+dyudsyyxusyyuyxusLyuLydxeyxuydxeyxuuLxsxxsxxyxy即得sdyuds11~=−解之得cyssysu++=21),(~因sdxedxexususxsx1)0,()0,(~00===−+−+所以可得syssysu11),(~2++=取逆变换得1111),(121++=++=−−yxysLssyLyxuP83.10第三章：求上半平面内静电场的电位，即解下列定解问题22200,0,,|(),,lim0yxyuyxufxxu=+→=−+=−+=解：有原题的x值的取值范围可知，此题可用傅里叶变换求解，则令：(,)(,),()()jwxjwxUwyuxyedxFwfxedx−−++==−−对方称两边对x求傅里叶变换可得：222()0UjwUy−=，其解的形式为:12(,)wywyUwycece−=+（1）在对条件进行变换可得：(,)(),lim(,)0yUwyFwUwy→==（2）代入（1）式中有12()ccFw+=则：11(,)(())wywyUwyceFwce−=+−，此时可分类讨论：1）当w=0时，U（w,y）=F(w);2）当w0时，要满足条件（2），则需C2=0，有(,)()wyUwyFwe−=3）当w0时，同理需要C1=0，则有(,)()wyUwyFwe=综上所述，可得：||(,)()wyUwyFwe−=又有逆变换1|w|y|w|y221[]2()jwxyFeeedwxy−−−+==−+则可得u（x,y）的表达式为：1||22221(,)[()]()*()()()wyyyUxyFFwefxfdxyyx−−+===−++−τττ