西南交通大学数值分析上机实验报告

数值分析上机实习报告学号：姓名：专业：联系电话：任课教师：序......................................................................................................................................................1一、必做题.......................................................................................................................................21、问题一.................................................................................................................................21.1问题重述....................................................................................................................21.2实验方法介绍............................................................................................................21.3实验结果....................................................................................................................32、问题二.................................................................................................................................52.1问题重述....................................................................................................................52.2实验原理....................................................................................................................5雅各比算法：将系数矩阵A分解为：A=L+U+D，则推到的最后迭代公式为：....62.3实验结果....................................................................................................................6二、选做题.......................................................................................................................................83、问题三..............................................................................................................................83.1问题重述....................................................................................................................83.2实验原理....................................................................................................................93.3实验结果....................................................................................................................9总结..............................................................................................................................................102014西南交通大学数值分析实验11序伴随着计算机技术的飞速发展，所有的学科都走向定量化和准确化，从而产生了一系列的计算性的学科分支，而数值计算方法就是解决计算问题的桥梁和工具。数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法。为了提高计算能力，需要结合计算能力与计算效率，因此，用来解决数值计算的软件因为高效率的计算凸显的十分重要。数值方法是用来解决数值问题的计算公式，而数值方法的有效性需要根据其方法本身的好坏以及数值本身的好坏来综合判断。数值计算方法计算的结果大多数都是近似值，但是理论的严密性又要求我们不仅要掌握将基本的算法，还要了解必要的误差分析，以验证计算结果的可靠性。数值计算一般涉及的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题，从而对应解决实际中的工程技术问题。在借助MATLAB、JAVA、C++和VB软件解决数学模型求解过程中，可以极大的提高计算效率。本实验采用的是MATLAB软件来解决数值计算问题。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，其对解决矩阵运算、绘制函数/数据图像等有非常高的效率。本文采用MATLAB对多项式拟合、雅雅格比法与高斯－赛德尔迭代法求解方程组迭代求解，对Runge-Kutta4阶算法进行编程，并通过实例求解验证了其可行性，使用不同方法对计算进行比较，得出不同方法的收敛性与迭代次数的多少，比较各种方法的精确度和解的收敛速度。2014西南交通大学数值分析实验222014数值分析作业一、必做题1、问题一1.1问题重述1.1.1实验数据某过程涉及两变量x和y,拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知xi与yi之间的对应数据如下，xi=1,2,…,10yi=34.658840.371914.6448-14.2721-13.357024.823475.2795103.574397.484778.2392下列数据为另外的对照记录，它们可以作为近似函数的评价参考数据。xi=Columns1through71.50001.90002.30002.70003.10003.50003.9000Columns8through144.30004.70005.10005.50005.90006.30006.7000Columns15through177.10007.50007.9000yi=Columns1through742.149841.462035.118224.385211.2732-1.7813-12.3006Columns8through14-18.1566-17.9069-11.02262.028419.854940.362661.0840Columns15through1779.568893.7700102.36771.1.2实验内容（1）用次数分别为3，4，5，6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。（2）用插值多项式给出最好近似结果1.2实验方法介绍1.2.1多项式拟合在MATLAB中，提供了polyfit函数来计算多项式拟合系数，其设定曲线拟合的目标是最小二乘法（或被称为最小方差），polyfit的函数调用格式是：[p,s,mu]=ployfit(x,y,n)2014西南交通大学数值分析实验33其中，x和y表示的是已知的数据，n是多项式拟合阶数。通过最小二乘法原理得到的拟合曲线多项式是：1121nnnnpxpxpxpy1.2.2拉格朗日插值法拉格朗日插值法是利用拉格朗日基函数来进行拟合：拉格朗日基函数利用拉格朗日基函数，构造多项式为拉格朗日差值多项式。1.3实验结果1.3.1最小二乘多项式拟合结果（1）各次拟合结果系数3次多项式系数：-1.032619.3339-94.4787131.79444次多项式系数：-0.38187.3680-42.143373.53340.74505次多项式系数：0.0981-3.078934.5020-163.5107304.7282-139.50196次多项式系数：0.0194-0.54085.1137-16.8973-0.867066.3750-18.6991（2）绘制拟合曲线利用MATLAB调用函数ployfit来进行绘图，程序代码（见附录1），绘制的3、4、5、6阶拟合图像如下图1所示：2014西南交通大学数值分析实验4412345678910-20020406080100120原始折线曲线三次拟合曲线4次拟合曲线5次拟合曲线6次拟合曲线1.3.2拉格朗日插值拟合结果（1）拟合的系数根据拉格朗日的计算原理，编写程序见附录。运行得到的结果如下表1所示：表1拉格朗日插值运算结果（2）拟合的图像运行程序可以得到：拉格朗日插值拟合的图像如下图2所示：x1.01.52.02.53.03.54.04.55.0y34.65942.38440.37230.14814.645-1.768-14.272-18.858-13.3570x5.5.6.06.57.07.58.08.59.09.5y2.033324.82350.84975.28093.779103.57104.16797.48487.34622014西南交通大学数值分析实验5512345678910-20020406080100120图2拉格朗日插值拟合图像2、问题二2.1问题重述2.1.1实验数据(1)A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；b1=[-3,2,4]T；b2=[100,-200,345]T。(2)A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；b1=[3,2,1]T；b2=[5,0,-10]T。(3)A行分别为A1=[1,3],A2=[-7,1]；b1=[4,6]T。2.1.2实验内容用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b1或Ax=b2，研究其收敛性。上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。2.2实验原理根据题目要求，分别用雅克比迭代和高斯—赛德尔迭代的方法解方程组Ax=b1和Ax=b2，迭代法是将方程组Ax=b转化为x=Bx+f，构成了迭代格式：x(k+1)=Bxk+fk=0,1,2....n反复适用该式子，产生了{xk}的向量序列，如果这个向量序列收敛于x*，则有x*是方程组的解。因此，根据精度的要求选择一个合适的xk作为近似解。这就2014西南交通大学数值分析实验66是线性方程组的迭代法。雅各比算法：将系数矩阵A分解为：A=L+U+D，则推到的最后迭代公式为：x=-D-1(L+U)x(k)+D-1b其中，迭代矩阵为BJ=-D-1(L+U)高斯-塞德尔方法：是从雅