导数的几何意义教案

1导数的几何意义教案曾垂乐【教学目标】知识与技能目标：（1）使学生掌握函数)(xf在0xx处的导数0/xf的几何意义就是函数)(xf的图像在0xx处的切线的斜率。（数形结合），即：xxfxxfxfx)(lim0000/＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint），实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。难点：发现、理解及应用导数的几何意义【教学过程】（一）作业点评，承上启下：问题：在高台跳水运动中，t秒)(s时运动员相对于水面的高度是105.69.4)(2ttth（单位：m），求运动员在st1时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在st5.0时呢？教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释st1，st5.0时运动员的运动状态。（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）（二）课题引入，类比探讨：由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。●问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：导数)(0/xf的本质是函数)(xf在0xx处的瞬时变化率，即：xxfxxfxfx)(lim0000/（说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）●问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来2探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”：即：导数的代数表达式，并回忆求导数)(0/xf的步骤。●问（三）求导数)(0/xf的步骤有哪几步?教师引导学生回答：第一步：求平均变化率xxfxxf)()(00；第二步：当x趋近于0时，平均变化率xxfxxf)()(00无限趋近于的常数就是)(0/xf。（回归本质，数形结合）教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：●问（四）：第一步：平均变化率xxfxxf)()(00的几何意义是什么？请在函数图像中画出来；学生动手活动：见“学生动手实践”。由学生乙回答：平均变化率xxfxxf)()(00的几何意义是割线AB的斜率。)),(,(00xfxA))(,(00xxfxxB。教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。●问（五）：第二步：0x时，割线AB有什么变化？请画出来。学生动手活动：见“学生动手实践”。教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：0x，))(,(00xxfxxB)),(,(00xfxA当0x，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在0xx处的切线，请把它画出来。学生动手活动：见“学生动手实践”。教师展示学生作品，引导学生发现，并说出：（形）0x，割线AB切线AD，则割线AB的斜率切线AD的斜率由数形结合，得xxfxxfxfx)(lim0000/＝切线AD的斜率所以，函数)(xf在0xx处的导数0/xf的几何意义就是函数)(xf的图像在0xx处的3切线AD的斜率。（数形结合）。（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）（三）动画演示，总结归纳1．演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。2．教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。2l1lxyABC3．根据导数的几何意义，在点P附近，曲线)(xf可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。）（四）训练巩固、加强理解：1．在函数105.69.4)(2ttth的图像上，（1）用图形来体现导数3.3)1(/h，6.1)5.0(/h的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线)(th在210,,ttt初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线1l虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线1l虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。4附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在43,tt附近呢？（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）2．如图表示人体血管中的药物浓度)(tfc（单位：mLmg/）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计8.0,6.0,4.0,2.0t（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）（五）抽象概括，归纳小结：htO3t4t0t1t2t51．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：0/xf是确定的数（静态），xf/是x的函数（动态）由xxfxxfxfx)(lim0000/（特殊——一般）xxfxxfxfx)(lim0/（静态——动态）（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想2．归纳小结：由学生进行开放式小结：（1）函数)(xf在0xx处的导数0/xf的几何意义就是函数)(xf的图像在0xx处的切线AD的斜率。（数形结合），即：xxfxxfxfx)(lim0000/＝切线AD的斜率（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。（3）导函数（简称“导数”）的概念。xxfxxfxfx)(lim0/（六）作业布置，分层要求：1．习题P10A5,6.B2,3.2．如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函数)50(43)(3VVVr的图像，请根据图像，估计2.1,6.0V时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？3．请给出求函数)(xfy在0xx处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。5043)(3VVVrrVO6（探索：若把3．“在点))(,(00xfx处”改为“过点))(,(00xfx”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。）学生动手实践提问：1．导数)(0/xf的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数)(xf在处的即：２．函数)(xf平均变化率xxfxxf)()(00的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。y)(0xfO0xx3．导数)(0/xf的几何意义是什么？导数)(0/xf的几何意义是练习1．在函数105.69.4)(2ttth的图像上，（1）说说3.3)1(/h，6.1)5.0(/h的几何意义。（2）请描述、比较曲线)(th在210,,ttt附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在43,tt附近呢？)(xf1）平均变化率xxfxxf)()(00的几何意义：2）当0x时，观察图形变化。7(1)(2)htO3t4t0t1t2thtO5.00.182．如图表示人体血管中的药物浓度)(tfc（单位：mLmg/）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计8.0,6.0,4.0,2.0t(min)时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)，把数据用表格的形式列出。t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率抽象概括：归纳小结：xxfxxfxfx)(lim0000/9附：动态直观消除神秘，启发点拨贯通曲直——《导数的几何意义》课例点评本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义。它能过直观具体的形象帮助学生消除对极限的神秘感，深刻理解导数的内涵和意义，形成对于变量与常量之间相互联系与转化的认识，感受和体验辩证思维活动的过程，它对于学生深化数形结合认识，了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能。本课的设计和教学较好地反映了以上意图，较好地体现出高中数学课程标准所倡导的教学理念，主要特色如下：1．教学思路清晰，学习重点突出本节课围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。首先，教师从点评简单的作业“求高台跳水运动中某时刻的瞬时速度并描述该时刻的运动状态”入手，复习导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。整节课的教学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨。虽然活动的每一个环节和片断基本上以教材内容为主线展开，但每一个知识、每一个发现，教师总是设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。2．设问合乎情理，探究活动自然著名哲学家波普尔说“问题构成了一切科学探索活动(包括数学活动)的实际出发点”。在课堂上，只有通过适当的设问，才能在教学中真正实现“人人开动脑筋,积极思考”。本节课，教师十分注意提问的艺术，设计的问题围绕“怎样想到导数的几何意义就是切线的斜率”10而进行，引导学生充分经历“提出问题（从数的角度研究了导数后，从形的角度如何研究导数？）——寻求想法——实施想法——发现规律——给出定义——应用定义解释现象（如何估计切线的斜率）”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。3．注重学法引导，揭示研究方法无论是复习导数的实际意义、数值意义，还是研究