2020年高考理科数学全国卷1及答案(A4打印版)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷理科数学本试卷共6页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码黏贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若1iz，则22zz()A.0B.1C.2D.22.设集合240Axx≤，20Bxxa≤，且21ABxx≤≤，则a()A.4B.2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.514B.512C.514D.5124.已知A为抛物线2:20Cypxp＞上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据1220iixyi，，，…，得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.yabxB.2yabxC.xyabeD.lnyabx6.函数432fxxx的图像在点11f，处的切线方程为()A.21yxB.21yxC.23yxD.21yx7.设函数πcos6fxx在ππ，的图像大致如下图，则fx的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25yxxyx的展开式中33xy的系数为()A.5B.10C.15D.209.已知0π，，且3cos28cos5，则sin()A.53B.23C.13D.5910.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙1O为ABC△的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBCACOO，则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知⊙22:2220Mxyxy，直线:220lxy，P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当PMAB最小时，直线AB的方程为()A.210xyB.210xyC.210xyD.210xy12.若242log42logabab则()A.2ab＞B.2ab＜C.2ab＞D.2ab＜二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件2201010xyxyy≤，≥，≥，则7zxy的最大值为.14.设a，b为单位向量，且1ab，则ab.15.已知F为双曲线2222:100xyCabab＞，＞的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为.16.如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，1AC，3ABAD，ABAC，ABAD，30CAE，则cosFCB.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）设na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项.（1）求na的公比；（2）若11a，求数列nna的前n项和.18.（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD.ABC△是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO.（1）证明：PAPBC平面；（2）求二面角BPCE的余弦值.19.（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.20.（12分）已知A，B分别为椭圆E：22211xyaa＞的左、右顶点，G为E上顶点，8AGGB.P为直线6x上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.21.（12分）已知函数2xfxeaxx.（1）当1a时，讨论fx的单调性；（2）当0x≥时，3112fxx≥，求a的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cossinkkxttyt，为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30.（1）当1k时，1C是什么曲线？（2）当4k时，求1C与2C的公共点的直角坐标.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数3121fxxx.（1）画出yfx的图像；（2）求不等式1fxfx＞的解集.2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷理科数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】由题意首先求得22zz的值，然后计算其模即可.由题意可得：2212zii，则222212zzii.故2222zz.故选：D.【考点】复数的运算法则，复数的模的求解2.【答案】B【解析】由题意首先求得集合A，B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式240x≤可得：22Axx≤≤，求解一次不等式20xa≤可得：2aBxx≤.由于21ABxx≤≤，故：12a，解得：2a.故选：B.【考点】交集的运算，不等式的解法3.【答案】C【解析】设CDa，PEb，利用212POCDPE得到关于a，b的方程，解方程即可得到答案.如图，设CDa，PEb，则22224aPOPEOEb，由题意212POab，即22142abab，化简得24210bbaa，解得154ba（负值舍去）.故选：C.【考点】正四棱锥的概念及其有关计算4.【答案】C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知122ApAFx，即1292p，解得6p.故选：C.【考点】利用抛物线的定义计算焦半径5.【答案】D【解析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx.故选：D.【考点】函数模型的选择，散点图的分布6.【答案】B【解析】求得函数yfx的导数fx，计算出1f和1f的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.432fxxx，3246fxxx，11f，12f，因此，所求切线的方程为121yx，即21yx.故选：B.【考点】利用导数求解函图象的切线方程7.【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点409，，即可得到4cos096，结合409，是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到4962，即可求得32，再利用三角函数周期公式即可得解.由图可得：函数图象过点409，，将它代入函数fx可得：4cos096.又409，是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得：32.所以函数fx的最小正周期为224332T.故选：C.【考点】三角函数的性质及转化，三角函数周期公式8.【答案】C【解析】求得5xy展开式的通项公式为515rrrrTCxy（rN且5r≤），即可求得2yxx与5xy展开式的乘积为65rrrCxy或425rrrCxy形式，对r分别赋值为3，1即可求得33xy的系数，问题得解.5xy展开式的通项公式为515rrrrTCxy（rN且5r≤）.所以2yxx与5xy展开式的乘积可表示为：56155rrrrrrrxTxCxyCxy或22542155rrrrrrrTCxyxCyyyxx在615rrrrxTCxy中，令3r，可得：33345xTCxy，该项中33xy的系数为10，在42152rrrrTCxxyy中，令1r，可得：521332TCyxxy，该项中33xy的系数为5.所以33xy的系数为10515.故选：C【考点】二项式定理及其展开式的通项公式，赋值法9.【答案】A【解析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.3cos28cos5，得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3或cos2（舍去），又(0)，，25sin1cos3.故选：A.【考点】三角恒等变换，同角间的三角函数关系求值10.【答案】A【解析】由已知可得等边ABC△的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24r，2r，由正弦定理可得2sin6023ABr，123OOAB，根据圆截面性质1OOABC平面，11OOOA，22221114ROAOOOAOOr，球O的表面积2464SR.故选：A.【考点】球的表面积，应用球的截面性质11.【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A，P，B，M共圆，且ABMP，根据22PAMPMABSPA△可知，当直线MPl时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程.圆的方程可化为22114xy，点M到直线l的距离为2221125221d＞，所以直线l与圆相离.依圆的知识可知，四点A，P，B，M四点共圆，且ABMP，所以12222PAMPMABSPAAMPA△，而24PAMP，当直线MPl时，min5MP，min1PA，此时PMAB最小.1:112MPyx即1122yx，由1122220yxxy解得，10xy.所以以MP为直径的圆的方程为1110xxyy，即2210x