全等三角形的综合应用

全等三角形的综合应用（学案）一、基础知识回顾1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．2、全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．知识网络结构图二、本章学习重难点【本章重点】1．全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法．2．角平分线的性质及判定．3．理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．【本章难点】1．根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识．2．角平分线的性质和判定的正确运用．3．用综合法证明的格式．三、学法指导1．注意在探究中掌握结论．2．三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论．3．注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据．4．注重联系实际．5．注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧．四、知识点讲与练专题1三角形全等的判定与性质的综合应用【专题解读】三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题．例1如图11-113所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．（1）求证AP＝AQ；（2）求证AP⊥AQ．例2、如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论?专题2全等三角形的性质及判定的实际应用【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大．例3、如图11-116所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由．专题3角平分线的性质及判定的应用【专题解读】此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分线的性质及判定的区别与联系．例4、如图11-118所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC．交BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE．BE的长．FCDBAEG专题4、全等与角度例5、如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.例6、在等腰ABC中，ABAC，顶角20A，在边AB上取点D，使ADBC，求BDC.DCBADCBA专题5、综合分析例7、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF△≌△，所以AEEF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3五、当堂测试（40分钟）一、选择题（共8小题）1、已知O是锐角△ABC三边中垂线的交点，∠A=50°，则∠BOC的度数是（）A、90°B、95°C、100°D、105°2、下列判断中错误的是（）A、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等B、有两边和一角对应相等的两个三角形全等C、有三边对应相等的两个三角形全等D、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论，其中正确的个数是（）①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分ADA、1个B、2个C、3个D、4个3题图5题图6题图7题图4、（2010•三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B5、（2007•呼伦贝尔）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E=∠F=90°，∠EAC=∠FAB，AE=AF．给出下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③BE=CF；④△ACN≌△ABM．其中正确的结论是（）A、①③④B、②③④C、①②③D、①②④6、（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A、PA=PBB、PO平分∠APBC、OA=OBD、AB垂直平分OP7、（2011•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A、1B、2C、3D、4二、填空题（共6小题）8、（2011•牡丹江）如图，△ABC的高BD、CE相交于点0．请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE．你所添加的条件是．9题图10题图11题图12题图9、（2005•天津）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED等于度．10、（2005•宁德）如图，已知：AC=AB，AE=AD，请写出一个与点D有关的正确结论：_______．（例如：∠ADO+∠ODB=180°，DB=EC等，除此之外再填一个）．11、（2004•四川）如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：12、（2003•广州）如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：（1）∠1=∠2；（2）BE=CF；（3）△ACN≌△ABM；（4）CD=DN，其中正确的结论是（注：将你认为正确的结论都填上）．13题图14题图13、（2011•岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_________．三、解答题（共15小题）14、（2011•江津区）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．15、（2011•德州）如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．16、（2009•沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜α＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．六、课后作业1、（2008•河北）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．2、（2006•岳阳）如图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同﹣直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE∥AF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．3、（2005•扬州）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．4．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．5、已知RtABC△中，90ACBCCD，∠，为AB边的中点，90EDF°，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证12DEFCEFABCSSS△△△．当EDF绕D点旋转到DEAC和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEFS△、CEFS△、ABCS△又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F6、点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证：（1）AN=MB.（2）△CEF为等边三角形。（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？七、请谈谈本堂课的收获？NBCMAAEFFDSDSFFFFFFFNBCAMFE