通信网习题1

4.1由n个元件构成的一个系统，各元件的平均寿命都是T。当一个元件失效据使得系统失效的情况下，已知系统的平均寿命将下降至T/n，如果采取容错措施，当m个以上元件失效才使系统失效，求证此系统的平均寿命为：mrmrnTT01可见比未采取措施前提高至少m倍。当m=n-1时，这一系统实际上即是n个元件的并接系统，试证上式即转化成并连系统的寿命公式。证：以i状态代表有i个元件失效的状态，此时系统的状态转移框图如下：那么状态i的平均寿命为：miinTSi0从而系统的平均寿命为：miminTSSSS0101当m=n-1时nkkTS01而利用数学归纳法易知：nnnnnnnkCnCCCk1)1(3121132104.2有n个不可修复系统，它们的平均寿命都是T。先取两个作为并接，即互为热备份运行；当有一个损坏时，启用第三个作为热备份；再损坏一个是起用第四个，已知下去，直到n个系统均损坏。忽略起用冷备份期间另一系统损坏的可能性；试计算这样运行下的平均寿命；并与全冷备份和全热备份是的平均寿命相比较。解：状态图如下：i表示有i个系统损坏，失效在图中标出。由上图有：TSniTSni1202从而，平均寿命：冷热热冷nSSSTn＝SnTSTnTnTSSSS1312112112110012mF…012n-1n2a2aa2a2a…4.3上题目中n个子系统都是可修复系统，可靠度都是R。仍用上述方式运行，一损坏系统修复后作为最后一个系统排队等候再起用，求稳态可靠度。解：m，n-m表示n个系统中有m个失效，状态转移图及失效率与修复率如图：用Pm表示状态m,n-m的概率（稳态），状态方程如下：12)2(10)1(2)2(201211110niinnnnnmmmppnppnppnnmpmppmppaaaaaa解状态方程如下：有：002202pnpnmpmpnnnmmmaa！！由归一性：11010221nmnnnmnmpaa！！稳态可靠度：nnnmmnsnmmpRaaa！！！1221211其中，RR1aR是单一系统的可靠度。4.4一个复杂系统有n级梯形结构组成如图所示。其中有n个子系统作为桥，2(n+1)个子系统作为梯边，它们都是可靠度为R的可以修复系统。求这个复杂系统的可靠度递推公式，假定所有子系统都互相独立。0,n1,n-12,n-2m,n-mn-1,1n,02a2a2aa2a2a2a2(m+1)n(n-1)3m解：依次考虑1，2，3，…n。依照各个桥的情况可以分类，根据1，2，3，…n的好坏情况可以得到以下结果：情况概率可靠度ⅠR[1-(1-R)2]Rn-1ⅡR(1-R)[1-(1-R2)2]Rn-2ⅢR(1-R)2[1-(1-R3)2]Rn-3┇NR(1-R)n-1[1-(1-Rn)2]R0N+1(1-R)n1-(1-Rn+1)2221021242122121212nnnnnnnnnRRRRRRRRRRRRRRRRRR其中：202RRR0n4.7用流量法求图5－9(b)中的二分网的联接度a和结合度，只考虑端故障，且各端的可靠度均为R，求1端和5'端间的联接概率。解：图5－9(b)中的二分图，任意一端度数均为4，4容易知道：4a一知考虑端故障，故中有一，二，三失效和无失效是等价图入右：可靠度分别为：4443342224431431111111RCRRCRRCRRRCR1和5'之间联接概率为：444433422243314'5,11111111RRCRRCRRCRRRCR4.8有一网络结构如图：1.验证网络是否为保证网。2.求联接度a和结合度。3.若每边的可靠度都是Re，每端的可靠度Rn,求线路故障下网络的可靠度和局故障的网络的可靠度。4.求v1和v2间联接的概率。5.要使a和都为2，如何添加一条边来满足。解：1.原网收缩为：从而是保证图。2.去掉U1,U2可使网中断，故a=1,=2。3.局故障下网的可靠度：端的不可靠度为nnRF1网络的可靠度niinnininiinniniRFCFFCR111)1(1a当nnnFFCRF21111aa边故障下：边的不可靠度为eeRF1：网的可靠度miimeieimpiimeieiRFCFFBR221)1(1当2112111nmeeFFBRF4.222226,12222226,11111111111111neneenneeneneneRRRRRRRRRRRRRRRRR5.在V1和V3之间连一条边，就使a==24.9有一个四端全联接的网络，各边的容量都为1，可靠度均为0.999，若网络内部只有两个端之间有业务，呼叫量为0.1爱尔兰，不可靠集定义为转接次数大于1，或呼损大于0.01，设所有端均不出故障，求此两端之间通信的综合可靠度。解：考虑到转接此时小于等于1，那么某两端见的等效网络为右图：有三条独立的线路可靠度为：R2，R1，R2。其中：R1＝0.999R2＝0.9992呼叫量为0.1个爱尔兰，又因为必有呼损率小于0.01，那么有爱尔兰公式一可知，在可靠集中应至少有两条线路是正常的，设x为不正常线路个数：x=0的概率：221RRx=1的概率：222221112RRRRR综合可靠度：221222221112RRRRRRR