14届 复旦大学附属中学自主招生测试 数学卷

复旦附中数学自主招生测试（2014）第1页（共1页）2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学卷一．填空题1．已知998a，997b，996c，则2aabacbc▲．2．已知：23a，32b，则1111ab▲．3．在△ABC中，10AB，16AC，BAC的角平分线为AN，BN和AN垂直，垂直为N，M为BC的中点，则MN▲．4．方程2354235xxxx的根为▲．5．已知一次函数ykxb经过点(1,1)，且2k，则该函数不经过第▲象限．6．已知,,,,,abcdef为实数，满足0ace，已知axbcxdexf对于任意x都成立，则adbc▲．7．已知：222212310011352001A，222212310013572003B，则与AB最接近的整数是▲．二．解答题8．已知,xy是正整数，且2014xy，1112014xyxy，试求xy的最大值．9．在△ABC中，BF和CE分别是ABC和ACB的平分线，O是内心（角平分线的交点），满足OEOF，求证：△ABC是等腰三角形或60A．10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n个数，放入集合A中，从A中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n的最大值．2014年复旦大学附属中学自主招生测试复旦附中数学自主招生测试（2014）第2页（共1页）数学试卷参考答案和评分标准一．填空题1．22．13．34．0；4；435．二6．07．501二．解答题8．解：由1112014xyxy得1120152014xyxy；即2014201420140xyxy；即(2014)(2014)20142013xy；得：min()402840271xy．9．证明：在AC上截取'AEAE①如果E'和F重合，那么△AOE≌△AOF，△BOE≌△COF；因此ABAEBEAFCFAC；故△ABC是等腰三角形；②如果E'和F不重合，易知△AOE'≌△AOF；于是'OEOF；即''OFEOEFBEC；由12BECAC，12AFOBCABCEF(E')O第9题图①ABCEE'OF第9题图②复旦附中数学自主招生测试（2014）第3页（共1页）推出11()(180)22BCAA；即60A．10．解：首先构造两个数列：1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024；3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数．因此：21n．如果21n，则构造如下集合：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,,15，…，1024,1025,,2014；共11个集合，如果21n，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾．故n的最大值为21．