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1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝28cm．点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯形？备用图1．如图1，如果四边形PQCD是平行四边形，那么PD＝QC．所以24－t＝3t．解得t＝6．如图2，如果四边形PQCD是等腰梯形，作PM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，那么QM＝CN．所以t－(28－3t)＝4．解得t＝8．第1题图1第1题图26．（2012年抚顺市中考数学第25题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边三角形ADE．（1）如图1，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图1证明你的结论；（2）当点E不在线段BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；（3）若AC＝3，点D在直线BC上移动的过程中，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请说明理由．图1图26．（1）当点E恰好在线段BC上时，由∠ADE＝60°，∠ABC＝30°，得∠DAB＝90°．因此∠EAB＝30°．所以AE＝BE．所以DE＝BE．（2）如图1，延长AC至F，使得CF＝AC，那么△ABF是等边三角形．联结DF．由于BD垂直平分AF，所以DA＝DF．由AD＝AC，∠DAF＝∠EAB，AF＝AB，得△ADF≌△AEB．所以DF＝EB．由于DE＝DA，所以DE＝BE．（3）①如图2，当AE//CD时，∠ADC＝∠DAE＝60°．在Rt△ACD中，AC＝3，所以CD＝3．②如图3，当AC//ED时，∠CAD＝∠ADE＝60°．此时D、B重合，CD＝33．第6题图1第6题图2第6题图3两年模拟9．（2014年上海市闸北区中考模拟第24题）如图，二次函数y＝ax2＋4的图像与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且cos∠CAO＝22．（1）求二次函数的解析式；（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形．．．．，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．图19.（1）由y＝ax2＋4，得C(0,4)．所以OC＝4．由cos∠CAO＝22，得∠CAO＝45°．所以OA＝4，A(－4,0)．将A(－4,0)代入y＝ax2＋4，得16a＋4＝0．解得14a．所以二次函数的解析式是2144yx．（2）如图1，由A(－4,0)、C(0,4)，可知直线AC与坐标轴的夹角为45°．当⊙O与AC相切于点D时，OD⊥AC，所以D是AC的中点，D(－2,2)．第9题图1（3）设点P的坐标为21(,4)4xx．因为∠ADO＝90°，因此直角梯形存在两种情况：如图2，当AP//DO时，点P在第四象限，作PH⊥x轴，那么PH＝AH．解方程21(4)44xx，得x＝8，或x＝－4（与A重合，舍去）．此时点P的坐标为(8,－12)．如图3，当OP//DA时，点P在第三象限，作PH⊥x轴，那么PH＝OH．解方程21(4)4xx，得225x，或225x（舍去）．此时点P的坐标为(225,225)．第9题图2第9题图310．（2014年上海市闵行区中考模拟第24题）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得2,0,421.abccabc解得32a，72b，0c．所以23722yxx．（2）如图1，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝yP′－yB．直线OC的解析式为12yx，设点P的坐标为1(,)2xx，那么237(,)22Mxxx．解方程23712()222xxx，得123x，22x．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P．第10题图1