线性代数课件第六章

第六章线性空间与线性变换第一节线性空间的定义与性质第二节维数、基与坐标第三节基变换与坐标变换第五节线性变换的矩阵表示式知识要点习题课第四节线性变换第六章线性空间与线性变换向量空间又称线性空间,是线性代数中一个化了.具一般性.当然,推广后的向量概念也就更加抽象要把这些概念推广,使向量及向量空间的概念更量,并介绍过向量空间的概念.在这一章中,我们最基本的概念.在第四章中,我们把有序数组叫向线性空间的定义主要内容举例线性空间的性质子空间第一节线性空间的定义与性质定义1设V是一个非空集合,R为实数域.算满足以下八条运算规律(设,,V;,R):与之对应,称为与的积,记作;之对应,称为与的和,记作=+;于任意两个元素,V,总有唯一的一个元素V与数R与任一元素V,1.定义一、线性空间的定义如果对又对于任一总有唯一的一个元素V并且这两种运(i)+=+;(ii)(+)+=+(+);(iii)在V中存在零元素0，对任何V,(v)1=;使+=0;(iv)对任何V,都有的负元素V,都有+0=;(vi)()=();(vii)(+)=+;(viii)(+)=+.那么,V就称为(实数域R上的)向量空间(或线性线性运算;凡定义了线性运算的集合,就称为向量空简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算,向量.空间),V中的元素不论其本来的性质如何,统称为(实)就称为间.在第四章中,我们把有序数组称为向量,并对它定当然也就不一定是有序数组的加法及数乘运算.(2)向量空间中的运算只要求满足八条运算规律,(1)向量不一定是有序数组;定义有了很大的推广:显然,那些只是现在定义的特殊情形.最后,把对于运算封闭的有序数组的集合称为向量空间.义了加法和乘数运算,容易验证这些运算满足八条规律.比较起来,现在的例1次数不超过n的多项式的全体,记作P[x]n,即R}{][00111,a,|aaxaxaxapxPnnnnnn对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空下面举一些例子.算封闭:种运算显然满足线性运算规律,故只要验证P[x]n对运间.这是因为通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两二、举例,][)()()()()(00110101nnnnnnnnxPbaxbaxbabxbxbaxaxa,][)()()()(0101nnnnnxPaxaxaaxaxa所以P[x]n是一个向量空间.例2n次多项式的全体}0,R,,|{][001nnnnnaaaaxaxapxQ且对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空间.算不封闭.是因为0p=0xn+···+0x+0Q[x]n,即Q[x]n对运这例3正弦函数的集合}R,|)sin({][BABxAsxS对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间.,][)sin(sin)(cos)()sincos()sincos()sin()sin(21212211221121xSBxAxbbxaaxbxaxbxaBxABxAss规律,故只要验证S[x]对运算封闭:这是因为通常的函数加法及数乘运算显然满足线性运算,][)sin()()sin(11111xSBxABxAs所以S[x]是一个向量空间.检验一个集合是否构成向量空间,当然不能只检验对足八条线性运算规律.不是通常的实数间的加乘运算,则就应仔细检验是否满运算的封闭性(如上面两例).若所定义的加法和数乘运算}R,,|),,,({1T21nnnxxxxxxS对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例4n个有序实数组成的数组的全体TT21)0,,0,0(),,,(nxxx不构成向量空间.01x可以验证Sn对运算封闭.但因不满足运算规律(v),即所定义的运算不是线性个集合,若定义两种不同的线性运算,就构成不同的概念是集合与运算二者的结合.一般地说,同一空间而Sn则不是向量空间.由此可见,向量空间由于在其中所定义的运算不同,以致Rn构成向量比较Sn与Rn,作为集合,它们是一样的,但运算,所以Sn不是向量空间.的向量空间；若定义的运算不是线性运算,就不构成向量空间.下例.为了对线性运算的理解更具有一般性,请看可以说,把向量空间叫做线性空间更为合适.间的本质,而其中的元素是什么倒不重要,由此所以,所定义的线性运算是向量空例5正实数的全体,记作R+,在其中定义加法及乘数运算为,)R,(baabba加法:数乘:,)R,R(aaa验证R+对上述加法与数乘运算构成线性空间.;Rabba对加法封闭:对任意的a,bR+,有证实际上要验证十条:对数乘封闭:对任意的R,aR+,有;Raa(i);abbaabba(ii));()()()()(cbabcacabcabcba(iii)R+中存在零元素1,对任何aR+,有;11aaa(iv)对任何aR+,有负元素a-1R+,使;111aaaa(v);11aaa(vi);)()()(aaaaa(vii);)(aaaaaaaa(viii).)()()(bababaababba因此,R+对于所定义的运算构成线性空间.下面讨论线性空间的性质.性质1零向量是唯一的.三、线性空间的性质即零向量是唯一的.所以01=01+02=02+01=02.别有02+01=02,01+02=01.即对任何V,有+01=,+02=.于是特证明证明设01,02是线性空间V中的两个零向量,证毕证毕性质2任一向量的负向量是唯一的.记作-.的负向量证毕证毕=+0=+(+)=(+)+=0+=.于是+=0,+=0.设有两个负向量，，即证明证明即零向量是唯一的.所以01=01+02=02+01=02.别有02+01=02,01+02=01.即对任何V,有+01=,+02=.于是特证明证明设01,02是线性空间V中的两个零向量,证毕证毕证毕证毕=+0=+(+)=(+)+=0+=.于是+=0,+=0.设有两个负向量，，即证明证明性质4如果=0,则=0或=0.,001)(1而,)1()(1所以=0证毕证毕证明证明若0,在=0两边乘1/,得性质30=0;(-1)=-;0=0.证毕证毕=[+(-)]=0=0.0=[+(-1)]=+(-)所以(-1)=-;+(-1)=1+(-1)=[1+(-1)]=0=0;所以0=0;证明证明+0=1+0=(1+0)=1=,证毕证毕=[+(-)]=0=0.0=[+(-1)]=+(-)所以(-1)=-;+(-1)=1+(-1)=[1+(-1)]=0=0;所以0=0;证明证明+0=1+0=(1+0)=1=,,001)(1而,)1()(1所以=0证毕证毕证明证明若0,在=0两边乘1/,得在第四章中,我们提过子空间,今稍作修正.定义设V是一个线性空间,L是V的一个非空子是V的一部分,V中的运算对于L而言,规一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?成一个线性空间,则称L为V的子空间.集,如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构四、子空间因L律(i),(ii),(v),(vi),(vii),(viii)显然是满足的,因此只要L定理线性空间V的非空子集L构成子空间的充要条件是L对于V中的线性运算封闭.此我们有的性质知,若L对运算封闭,则即能满足规律(iii),(iv).对运算封闭且满足规律(iii)、(iv)即可.但由线性空间因向量空间维数的定义主要内容向量在基下的坐标向量的运算第二节维数、基与坐标向量空间同构在第四章中,我们用线性运算来讨论n维数组这些概念和性质.性空间中的元素仍然适用.以后我们将直接引用有关的性质只涉及线性运算,因此,对于一般的线组合、线性相关与线性无关等等.这些概念以及向量之间的关系,介绍了一些重要概念,如线性一、向量空间维数的定义在第四章中我们已经提出了基与维数的概念,的主要特性,特再叙述如下.这当然也适用于一般的线性空间.这是线性空间定义2在线性空间V中,如果存在n个元素1,维数为n的线性空间称为n维线性空间,记作Vn.n称为线性空间V的维数.那么,1,2,···,n就称为线性空间V的一个基,(ii)V中任一元素总可由1,2,···,n线性表示.(i)1,2,···,n线性无关;2,···,n满足:若知1,2,···,n为Vn的一个基,则Vn可表示为,}R,,|{12211nnnnxxxxxV这就较清楚地显示出线性空间Vn的构造.并且这组数是唯一的.=x11+x22+···+xnn,都有一组有序数x1,x2,···,xn,使若1,2,···,n为Vn的一个基,则对任何Vn,二、向量在基下的坐标反之,任给一组有序数x1,x2,···,xn,总有唯一的来表示元素.于是我们有之间存在着一种一一对应的关系,因此可以用这组有序数(x1,x2,···,xn)T这样,Vn的元素与有序数组元素=x11+x22+···+xnnVn.定义3设1,2,···,n为线性空间Vn的一个=(x1,x2,···,xn)T.n下的坐标,并记作x1,x2,···,xn这组有序数就称为元素在基1,2,···,=x11+x22+···+xnn,x2,···,xn,使基.对于任一元素Vn,总有且仅有一组有序数x1,例6在线性空间P[x]4中,p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4就是它的一个基.任一不超过4次的多项式p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0都可表示为p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5,因此p在这个基下的坐标为(a0,a1,a2,a3,a4)T.若另取一个基,21)(54433221110qaqaqaqaqaap因此p在这个基下的坐标为.),,21,,(T432110aaaaaa,,,2,1,145342321xqxqxqxqq则建立了坐标以后,就把抽象的向量与具体的数组于是=y11+y22+···+ynn,=x11+x22+···+xnn,设,Vn,有的线性运算与数组的线性运算联系起来.向量(x1,x2,···,xn)T联系起来了.并且还可把Vn中抽象三、向量的运算+=(x1+y1)1+···+(xn+yn)n,=(x1)1+···+(xn)n,即+的坐标是(x1,···,xn)T=(x1,···,xn)T.的坐标是=(x1,···,xn)T+(y1,···,yn)T,(x1+y1,···,xn+yn)T总之,设在n维线性空间Vn中取定一个基1,2,们可以说Vn与Rn有相同的结构,我们称Vn与Rn同构.也就是说,这个对应关系保持线性组合的对应.(ii)(x1,···,xn)T.(i)+(x1,···,xn)T+(y1,···,yn)T;设(x1,···,xn)T,(y1,···,yn)T,则系具有下述性质:(x1,···,xn)T之间就有一个一一对应的关系,且这个关···,n,则Vn中的向量与n维向量空间Rn中的向量因此,我的维数所决定.的线性空间都同构.从而可知线性空间的结构完全被