利用matlab和数值方法实验三个案例

利用matlab和数值方法实验三个案例一、人口预测问题实验一、实验目的了解马尔萨斯人口模型的数学描述，熟悉数据处理的方法和技巧。二、实验内容由中国人口数据资料（单位：亿）年t199119921993199419951996数量N11.5811.7211.8511.9812.1112.24考虑2008年人口预测。三、实验原理设人口总数为N(t)，根据人口理论的马尔萨斯模型，采用指数函数N(t)=ea+bt对人口数据进行拟合。为了计算方便，将上式两边同取对数，得lnNabt，令y=lnN或N=ey变换后的拟合函数为y(t)=a+bt需要利用数据确定上式中系数a，b。四、演示实验据统计，六十年代世界人口数据如下(单位：亿)年196019611962196319641965196619671968人口29.7230.6131.5132.1332.3432.8533.5634.2034.83由人口数据取对数（y=lnN）计算，得下表t196019611962196319641965196619671968y3.39183.42133.45033.46983.47633.49203.51333.53223.5505根据表中数据及等式a+btk=yk(k=1，2，……，9)可列出关于两个未知数a、b的9个方程的超定方程组（方程数多于未知数个数的方程组）a+tjb=yj(j=1，2，…，9)用最小二乘法求解超定方程组即可得拟合系数。MATLAB程序t=1960:1968;t0=2000;N=[29.7230.6131.5132.1332.3432.8533.5634.2034.83];y=log(N);A=[ones(9,1),t'];d=A\y';a=d(1),b=d(2)N0=exp(a+b*t0)x=1960:2001;yy=exp(a+b*x);plot(x,yy,t,N,'o',2000,N0,'o')计算结果为a－33.0383，b0.0186N(2000)=63.2336所以取五位有效数，可得人口数据的指数拟合函数tetN0186.00383.33)(经计算得2000年人口预测值为：63.2336(亿)。1960196519701975198019851990199520002005203040506070五、实验任务设N(t)=exp(a+bt)，利用数据拟合方法确定指数函数，并预测2000年到2008年九年的我国人口数量。六、思考题1、如果不对人口模型中的指数函数作变换，是否也可以求出待定系数a，b？2、用线性函数（或二次函数）代替人口模型中的指数函数作数据拟合，这样做有何利弊？3、如果用六十年代的人口统计数据预测2060年的世界人口，结果会怎样？二、投入产出模型一、实验目的了解投入产出模型的数学描述，从实际问题出发，建立线性代数方程组，应用求齐次方程组通解方法，寻求符合实际情况的答案二、实验内容一个国家或区域的经济系统中,各部门(或企业)既有消耗又有生产,或者说既有“投入”又有“产出”.生产的产品供给各部门和系统外的需求,同时也消耗系统各部门所提供的产品,消耗的目的是为了生产；生产的结果必然要创造新价值.显然对每一部门,物资消耗和新创造的价值等于它生产的总产值.这就是“投入”和“产出”之间的平衡关系.1936年美国经济学家W.Leontief首先提出并成功地建立了研究国民经济的投入产出的数学模型，他数次主持制定了美国的国民经济投入产出表，且由此对国民经济各部门的结构和各种比例关系进行了定量分析.这一方法即投入产出法以其重要的应用价值迅速为世界各国经济学界和决策部门所采纳.W.Leontief因此于1973年获得了Nobel经济学奖.Lenontief投入产出法讨论如下特殊的经济问题：在某种特定的经济状态中，几个产业部门中的每一个为了满足社会各经济部门对产品的总需求，应具有怎样的产出水平.在Lenontief方法中，一个经济体的生产活动被分散到几个产业部门，并且分析各部门之间产品交易，先作如下基本假设：(1)n个部门的每个仅生产各自特定的一种产品，即n个部门和n种产品存在一一对应关系，不妨假设第i个部门生产第i种产品；(2)每个部门仅有一种生产方式，生产意味着一定量的n种产品交换成一定数量的单种产品，而且这个投入－产出模式是稳定的；(3)部门j为生产一单位产品需要ijt单位的产品投入其中},,2,1{nni.我们把ijt称为投入系数，它通常被假设为不变的，用经济学的术语来说，就是投入比例是常数设),,2,1(nixi表示部门i在每个固定单位时期内生产i产品的产出，产出ix的一部分作为个部门生产活动所需的投入而消耗掉，即有njjijxt1单位的i产品在生产活动中被消耗掉，余下njjijiixtxd1),,2,1(ni单位i产品作为纯产出，我们称这个纯产出id为i产品的最终需求或对i产品的外部需求量，而称n阶矩阵nnijRtT)(为投入矩阵.设Tnxxxx),,,(21和Tndddd),,,(21分别表示产出向量和最终需求向量，则我们可得到投入－产出平衡方程组dxTI)(或dAx，TIA.投入－产出分析所要解决的问题是：对已知最终需求量d，求出产出向量x，使平衡方程组成立.由最终需求向量d于产出向量x的经济意义知0d，0x，因此，一个经济模型是可行的等价于由它确定的平衡方程组对任意的非负右端都有非负解.以上讨论的经济模型称为Lenontief开模型.三、实验原理根据投入－产出平衡方程组dxTI)(或dAx，TIA,其中x和d分别表示产出向量和最终需求向量，矩阵T投入系数矩阵.四、实验任务设整个经济由农业、工业、服务业三个部门组成,分别生产农产品、工业品、提供服务三种产品,并不考虑政府干预和外来投资和输入等因素.已知用货币计算的投入产出表如下:(单位：亿元）产出投入农业工业服务业最终需求总产出农业15203035100工业301045115200服务业206070150初始投入3511075总投入100200150表中每行表示投入的分配,每列表示投入的来源.一般说，在对一个国家或区域的经济用投入产出法进行分析和研究时，首先根据统计数字制定投入产出表，进而计算出有关的技术系数.对这些系数的分析，可以了解经济系统的结构和各部门之间的数量关系，还可通过求解方程组来获知最终需求的变动对各部门生产的影响五、演示实验根据投入产出表,则投入系数矩阵为0.150.10.20.30.050.30.20.30T.将投入系数矩阵和对三个部门的外部需求输入MATLAB,程序如下:T=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];d=[50100100]’;A=eye(3)-T;x=A\d得到三个部门的总产出分别为126.7606,204.2254,186.6197亿元.六、思考题(1)设有n个部门,已知投入系数,给定外部需求,建立求解各部门总产出的模型;(2)设投入产出如上表所给,如果今年对农业、工业、服务业的外部需求分别为50,100,150亿元,问这三个部门的总产出分别为多少?(3)如果三个部门的外部需求分别增加1个单位,它们的总产出分别增加多少个单位?(4)可行的投入产出模型的投入系数应满足什么条件?三、水塔水流量的估计一、实验目的了解建立数学模型的基本方法,运用插值方法解决实际问题.二、实验内容美国某州的各公用水管理机构要求各社区提供各个时刻的用水率以及每天所用的总用水量．但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位．更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位时，水泵就启动向水塔重新充水直到某一最高水位，但也无法得到水泵的供水量的测量数据．因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中水位与水泵工作时的用水量之间的关系．水泵每天向水塔充水两次．试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量，并估计一天的总用水量．水塔是一个高12.2米、直径17.4米的圆柱.按照设计,水塔水位降至约8.2米时,水泵自动启动加水;当水位升高到约10.8米时,水泵自动停止工作.可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律,并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率.表１给出了某个小镇某一天的真实数据,试估计任何时刻从水塔流出的水流量,及一天的总用水量．表1水位测量记录(符号//表示水泵启动)时刻t00.921.842.953.874.985.90水位9.689.489.319.138.988.818.69时刻t7.017.938.979.9810.9210.9512.03水位8.528.398.22////10.8210.50时刻t12.9513.8814.9815.9016.8317.9319.04水位10.219.949.659.419.188.928.66时刻t19.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位8.438.22//10.8210.5910.3510.18上表给出了从第一次测量开始的以小时为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为米的水塔中水位的测量值．三、实验原理根据问题的要求,关键在于确定用水率函数,即单位时间内用水体积,记为()ft.如果能够通过测量数据,产生若干个时刻的用水率,也就是()ft在若干个点的函数值,则()ft的计算问题就转化为插值问题.在给出问题解决方法之前,需要做下面假设.(1)水塔中水流量是时间的连续光滑函数,与水泵工作无关,流量只取决于水位表,与水位无关;(2)水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高低,且每次加水的工作时间大约为2小时;(3)水塔为标准圆柱体,水塔截面积是常数217.4()237.82S(4)水泵第一次供水时间段为[8.97,10.95],第二次供水时间段为[20.84,22.96].利用水塔截面积是常熟,得到不同时刻水塔中水的体积如表2.表2水塔中水的体积(单位:时刻(小时),体积(立方米))时刻t00.921.842.953.874.985.90体积2302225422142171211420952067时刻t7.017.938.979.9810.9210.9512.03水位202619951955////25732497时刻t12.9513.8814.9815.9016.8317.9319.04水位2428236422952238218321212059时刻t19.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位20051955//2573251824612421水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数.由于没有水的体积关于时间的函数表达式,而只是一个离散的函数值表2,因此考虑用差商代替导数,这也是离散反映连续的常用思想.为提高精度,采用二阶差商,即2()iiftV.因为所有数据被水泵工作分割成三组数据,对每组数据的中间数据采用中心差商,前后两个数据采用向前或向后差商,即:中心差商公式2211218812()iiiiiiiVVVVVtt向前和向后差商公式2211432()iiiiiiVVVVtt2121342()iiiiiiVVVVtt.根据差商计算公式,计算出水塔中水的流速,见表3.表3水塔中水的流速(单位:时刻(小时),流速(立方米/小时))时刻t00.921.842.953.874.985.90流速56.5241.8535.7458.0634.6120.9232.51时刻t7.017.938.979.9810.9210.9512.03流速10.9831.7142.79////73.6177.72时刻t12.9513.8814.9815.9016.8317.9319.04流速70.4360.9869.1158.5153.0356.9863.41时刻t19.9620