(完整版)医科高等数学知识点

1.极限存在条件AxfxfAxfxx)()()(lim0002.法则1(夹逼法则)若在同一极限过程中,三个函数)(1xf、)(2xf及)(xf有如下关系:)()()(21xfxfxf且Axfxf)(lim)(lim21则Axf)(lim3.法则2(单调有界法则)单调有界数列一定有极限4.无穷小定理0])(lim[)(limAxfAxf以~-A为无穷小，则以A为极限。性质1有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小性质2有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.性质3在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.5.高阶同低阶无穷小，假设.0,,且个无穷小是同一变化过程中的两)(,,0lim)1(o记作较高阶的无穷小是比就说如果;,,lim)2(较高阶的无穷小是比或者说较低阶的无穷小是比就说如果;),0(lim)3(是同阶的无穷小与就说如果CCC=1时，为等价无穷小。无穷小阶的的是就说如果kkCCk),0,0(lim)4(6.则有若,)(lim,)(limBxgAxf)0()(lim)(lim)()(lim)3()()(lim)]()(lim[)2()(lim)(lim)]()(lim[)1(BBAxgxfxgxfBAxgxfxgxfBAxgxfxgxf推论则为常数而存在若,,)(limcxf)(lim)(limxfcxcf则为正整数而存在若,,)(limnxfnnxfxf)]([lim)](lim[例题11lim22xxx11lim22xxx1lim1limlim2222xxxxx317.为非负整数时有和所以当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当8.例题)2(lim2xxxx求)2(lim2xxxxxxxxxxxx2)2)(2(lim222xxxx22lim21212lim2xx=19.两个重要的极限1sinlim0xxxxxx1sinlim=1例题nxmxxsinsinlim0求nxmxxsinsinlim0nxnxmxmxnmxsinsinlim0nmnxnxmxmxnmxxsinlimsinlim00xxx1sinlim求所以时则当令.0,,1txxtxxx1sinlim1sinlim0tttexxx)11(limexxx10)1(lim例题xxx3)21(lim求xxx3)21(lim)3)(2(2])21[(limxxxxx662])21[(limexxx例题2xxxx)11(lim求xxxx)11(limxxx)121(lim)121(])121[(lim221xxxx221ee解法2xxxxx)11()11(lim211])11[(lim)11(limeeexxxxxx10.函数在一点连续的充分必要条件是;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx11..)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf12.满足下列三个条件之一的点0x为函数)(xf的间断点.;)()1(0没有定义在点xxf;)(lim)2(0不存在xfxx).()(lim,)(lim)3(000xfxfxfxxxx但存在跳跃间断点.)(),(lim)(lim,,)(0000断点的跳跃间为函数则称点但右极限都存在处左在点如果xfxxfxfxxfxxxx可去间断点.)(,)(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数称点则处无定义在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点为左右极限都存在第二类间断点左右极限至少有一个是不存在的第二类间断点中包括无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷）震荡间断点（xx1sinlim0）13.例题.)1ln(lim0xxx求xxx10)1ln(lim原式eln=114.（最值定理）若函数)(xfy闭区间],[ba上连续，则)(xfy在闭区间],[ba上必有最大值和最小值．（有界性定理）若函数)(xfy闭区间],[ba上连续，则其在闭区间上必有界（介值定理）若函数)(xfy闭区间],[ba上连续，则对介于)(af和)(bf之间的任何数C，至少存在一个),(ba，使得cf)(根的存在定理两侧异号至少有一根。15.函数在一点可导的充分必要条件为：)()(0'0'xfxf16.可导的函数一定是连续的连续不一定可导17.导数..0)(常数的导数是零C.)(1nnnxxcos)(sinxxsin)(cosxxaxxaln1)(logxx1)(ln.csc)(cot2xx.sec)(tan2xxxxxtansec)(sec.cotcsc)(cscxxxaaaxxln)(xxee)()(arcsinx.112x.11)(arccos2xx;11)(arctan2xx.11)(cot2xx反函数的导数等于直接函数导数的倒数)0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxunnuuuuuu2121)()1(uCCu)()2(nnnuuuuuuuuu212121)()3(nuuu21因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则))()()(xvufy隐函数求导法则两边对X求导例题已知函数y是由椭圆方程12222byax所确定的求y方程两边分别关于x求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有02222ybyax解得yaxby22例题2exyeyyxyyeyxeyyy对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.例题3)4)(3()2)(1(xxxxy)]4ln()3ln()2ln()1[ln(31lnxxxxy)41312111(311xxxxyy)41312111()4)(3()2)(1(313xxxxxxxxy高阶导数xysin)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn18.).(,)()(000xfAxxfxxf且可导处在点数可微的充要条件是函在点函数即).(.0xfA可微可导19.基本初等函数的微分公式dxxxarcddxxxd2211)cot(11)(arctanxdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx2211)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(20.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud例题.,cos31dyxeyx求设)(cos)(cos3131xdeedxdyxxxxeexxsin)(cos3)(3131dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131dxxxex)sincos3(31微分形式不变性微分形式始终为dxxfdy)(21.Lagrange中值定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba上可导,则在),(ba内至少存在一点,使下面等式成立))(()()(abfafbf推论则有如果对于任意,0)(),,('xfbaxcxf)()(为常数c则有如果对于任意),()(),,('xgxfbaxcxgxf)()()(为常数c例题证明2arccosarcsinxxxxxfarccosarcsin)(设0)11(11)(22xxxfCxf)(0arccos0arcsin)0(f又2022C即2arccosarcsinxx22.洛必达法则型未定式解法型及:00如果函数)(xf与)(xg满足下列三个条件0／0∞／∞，导数都存在且0)(xg，)()(limxgxf存在或者无穷大则当0xx或x则有)()(lim)()(limxgxfxgxf型未定式解法00,1,0,,010.0100或01010000ln01ln0ln01000取对数.0例题xxx1)(lim求xxxxxexln11limlim011limlnlimln1limxxxxxxxx1)(lim0ln1lim1eexxxxxx洛必达法则不是万能的.limxxxxxeeee求洛必达不能求解111limlim22xxxxxxxxeeeeee(两边同乘以xe)23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点.（驻点为可导但是导数值为0的点）函数的不可导点,也可能是函数的极值点.判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同求驻点处的二阶导数若二阶导数为正值则为极小值负值则为极大值为零则不能判断24.二阶导数为正值则为凹的负值则为凸的分界点为拐点在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在函数作图求定义域函数的奇偶性和周期性求一阶和二阶导数讨论极值点和拐点渐近线列表25.dxxkf)(dxxfk)(dxxgxf)]()([dxxgdxxf)()(基本积分公式);1(1)1(1CxdxxCxxdxln)2(3dxaxCaaxln4dxexCexxdxcos)5(Cxsinxdxsin)6(Cxcosx2sec)7(Cxtanx2csc)8(Cxcotdxx211)9(CxarcCxcotarctandxx211)10(CxCxarccosarcsin26.第一类换元法(凑微分法)可导具有原函数设)(),()(xuuFuf则有dxxxf)()]([CxFduufxu)]([])([)(xdxsecCxx)tanln(secCxxxdx)cotln(csccsc凑微分的集中常见形式1)()()(.1111nxdxfdxxxfnnnn)()(2)(.2xdxfdxxxf)(ln)(ln)(ln.3xdxfdxxxf)1()1()1(.42xdxfdxxxf、)(sin)(sincos)(sin.5xdxfxdxxfxxxxdeefdxeef)()(.6xdxfx