全等三角形中的截长补短问题

-1全等三角形中的截长补短问题-2°.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180ABCD图1-1-3证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2图1-2∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.图2-1又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°FEDCBA图1-2-4已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.ABCDP12N图3-1-5分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.图3-1证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，图3-2∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在Rt△APE与Rt△CPD中,∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°P12NABCDE图3-2-6已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.DCBA12图4-1-7分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）图4-2延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.EDCBA12图4-2-8方法二（截长法）图4-3在AB上截取AF=AC，如图4-3在△AFD与△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。FDCBA12图4-3-9-10-11-12-13