最新对数与对数函数

基本初等函数、导数及其应用对数与对数函数1．对数的概念及运算法则(1)对数的定义说出logaN的底数和真数各是什么？又有何限制？提示：底数为a，a＞0且a≠1，真数为N，且N＞0(2)对数的常用关系式①对数恒等式：alogaN＝____(a0且a≠1，N0)；换底公式：logab＝_______________(b0，a、c均大于0且不等于1)．②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝__________(d0，a、b、c均大于0且不等于1)．Nlogcblogcalogad(3)对数的运算法则如果a0，且a≠1，M0，N0，那么①loga(M·N)＝______________；②logaMN＝______________；③logaMn＝__________(n∈R)；④logamMn＝__________(n∈R，m≠0)．温馨提醒：在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMnmlogaM2．对数函数的图象与性质a10a1图象a10a1性质定义域：________值域：R过定点__________当x1时，y0当0x1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________(0，＋∞)(1，0)增函数减函数温馨提醒：对数函数图象的基本特征：(1)当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．3．反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__________对称．y＝x1．(2013·高考广东卷)函数y＝lg（x＋1）x－1的定义域是()A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞)D．[－1，1)∪(1，＋∞)C2．(2013·高考福建卷)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()A3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．acbB．bcaC．cbaD．cabD4．(2013·高考四川卷)lg5＋lg20的值是________．5．(2013·高考北京卷)函数f(x)＝log12x，x≥1，2x，x1，的值域为____________．1(－∞，2)计算下列各式．(1)（lg3）2－lg9＋1·（lg27＋lg8－lg1000）lg0.3·lg1.2；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．对数式的化简与求值[课堂笔记]【解】(1)原式＝（lg3）2－2lg3＋1·32lg3＋3lg2－32（lg3－1）（lg3＋2lg2－1）＝（1－lg3）·32（lg3＋2lg2－1）（lg3－1）（lg3＋2lg2－1）＝－32.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.对数运算的一般思路：(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．注意：在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化．1．(1)计算：（1－log63）2＋log62·log618log64；(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.【解】(1)原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋（1－log63）（1＋log63）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.(2)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.(1)(2014·安徽省“江南十校”联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是()对数函数的图象及应用B(2)(2012·高考课标全国卷)当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是()A.0，22B．22，1C．(1，2)D．(2，2)[课堂笔记]B【解析】(1)首先判断定义域为R.又f(－x)＝f(x)，所以函数y＝log2(|x|＋1)为偶函数,当x＞0时，y＝log2(x＋1)．(2)由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax0＜x≤12，即当0＜x≤12时,函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝12时，412＝2，即函数y＝4x的图象过点12，2，把点12，2代入函数y＝logax，得a＝22，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需22＜a＜1(如图所示)．当a＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是22，1.(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1或0＜a＜1的两种不同情况．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．2．(1)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()(2)设a，b，c均为正数，且2a＝log12a，12b＝log12b，12c＝log2c，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜cBA【解析】(1)∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A.若a＞1，则0＜b＜1，此时f(x)＝ax是增函数，g(x)＝－logbx是增函数，结合图象知选B.(2)如图，在同一坐标系中,作出函数y＝12x，y＝2x，y＝log2x和log12x的图象．由图象可知a＜b＜c.已知函数f(x)＝log12(x2－2ax＋3)．(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．对数函数的性质及应用[课堂笔记]【解】(1)由f(－1)＝－3，得log12(4＋2a)＝－3.所以4＋2a＝8，所以a＝2.这时f(x)＝log12(x2－4x＋3)，由x2－4x＋3＞0，得x＞3或x＜1，故函数定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令g(x)＝x2－4x＋3，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．又y＝log12g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因此a≥2g（2）＞0，即a≥27－4a＞0，a无解．所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.3．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．【解】(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，则x＋1＞0，1－x＞0，解得－1＜x＜1.故所求定义域为{x|－1＜x＜1}．(2)f(x)为奇函数．证明如下：由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．故f(x)为奇函数．(3)由f(x)＞0，则loga(x＋1)－loga(1－x)＞0，∴loga(x＋1)＞loga(1－x)，又a＞1，∴x＋1＞01－x＞0x＋1＞1－x，解得0＜x＜1.所以使f(x)＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．(2013·高考陕西卷)设a,b,c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac对数换底公式的应用B[解析]由对数的运算公式loga(bc)＝logab＋logac可判断选项C，D错误．选项A，由对数的换底公式知，logab·logcb＝logca⇒lgblga·lgblgc＝lgalgc⇒lg2b＝lg2a，此式不恒成立．选项B，由对数的换底公式知，logab·logca＝lgblga·lgalgc＝lgblgc＝logcb，故恒成立．本考题源于教材人教A版必修1P75习题A组T11“(1)利用换底公式求下式的值：log225·log34·log59.(2)利用换底公式证明：logab·logbc·logca＝1”的变式而来．1．(log29)·(log34)＝()A.14B．12C．2D．4【解析】(log29)·(log34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.D2．(2014·西工大附中月考)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是()A．bacB．abcC．cbaD．bcaD【解析】a＝log23＝log49log461，又b＝log321，∴bca.