时间与物质运动的关系

第二篇运动学引言一、空间、时间与物质运动的关系1、物体的运动速度接近光速或超越光速时，空间、时间与物质的运动是相互关联的。2、经典力学范围内，认为空间、时间与物质的运动无关。二、运动学的研究对象经典力学中的运动学在被认为与运动无关的空间和时间中研究物体运动的几何性质三、运动学的建立基础由于经典力学中空间、时间与物体运动的无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在欧几里德几何学公理的基础上。第一章点的运动一、运动方程设点Ｍ沿直线轨道运动，如图所示，取此直线为轴，轴上Ｏ点为坐标原点，即参考点。由图可见，M点的坐标为时间t的单值连续函数，即：§1~1点的直线运动x=f(t)——点的直线运动的运动方程一、速度设在某一瞬时t，点在位置Ｍ，坐标为x。瞬时t=t+t，点在位置Ｍ，坐标x=x+x。如图1~2所示。因此，t时间内的坐标增量为x，若以来表示t时间内的平均速度，则：txv*结论：1、在直线运动中，点的速度等于点的坐标对时间的一阶导数。2、速度为正，物体沿x正向运动，返之沿负向运动。结论：１、在直线运动中，点的加速度等于点的速度对时间的一阶导数。即点的坐标对时间的二阶导数。２、a与v同号，则速度的绝对值越来越大，此时点作加速运动，返之，则速度的绝对值越来越小，此时点作减速运动。当t0时，MM点，v*v（点在瞬时t的瞬时速度，简称速度），即：)(lim0tfdtdxtxvtOMMtttxxxx21~图三、加速度设在某一瞬时t，点的速度为v;瞬时t=t+t，点的速度为v，如图1~2所示。因此，t时间内的速度增量为v=v-v，若以a来表示t时间内的平均加速度，则：tva*当t0时，MM点，a*a（点在瞬时t的瞬时加速度，简称加速度），即：　　　　（１～３）dtdvtvat0lim四、两种特殊的情况（１）、匀速直线运动——v为常量vdtdxdtdxv　　　　得由等式　　　:toxxovdtdxxxto　　　　　　则上式两边积分得　时设:;,0)4~1(::,　　　　　　　　　　　即　　　　　　　故由上式可得为常量由于vtxxvtxxvoo——匀速直线运动时的点的运动方程。（２）、匀变速直线运动——a为常量adtdvdtdva　　　　得由等式　　　:tvvoadtdvvvto0:;,0　　　　　　则上式两边积分得时设)(::,batvvao　　　　　　　　　　　即故由上式可得为常量由于atdtdtvdxatvdtdxbdtdxvoo从而　　　　　　　　　　　　　　得　　　代入式将　　　　　　:),(　　　　（１～５）　　　　　即　　　　　得　　　　　　　　可得积分　将式时设22021:21::,)(,,0attvxxattvxxatdtdtvdxcxxtooooxxtotooo——匀变速直线运动时的点的运动方程。例1、图1~3为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA长为r，自水平位置开始以匀角速度转动，即=t。滑槽K—K与导杆B—B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K—K中滑动，因而曲柄带动导杆B—B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。2005-7-91001-5-129xxxBBKKMor)(3~1a图例2.曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构(图1～4）当曲柄OA绕0轴转动时，由于连杆AB带动，滑块B沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用。在蒸汽机、内燃机中，用它将往复直线运动转换为回转运动；在往复式水泵、曲柄冲压机中，应用它将回转运动转换为往复直线运动。设曲柄OA长为r，以匀角速绕0轴转动，即=t，连杆AB长为L。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。解:分析运动:因滑槽K—Ｋ与导杆Ｂ—Ｂ制成一体，且作直线运动，故滑槽中点Ｍ的运动可代表导杆的运动。列运动方程由图中的几何关系，可知Ｍ点的坐标为：)(sinsinsinatrrOAOMx　　　avt及即可得分别求一阶和二阶导数将上式对trdtdxvcostrdtdvasin2结果分析：2005-7-91701-5-1210xvatttrxmaxrxminminvmaxvminamaxa)(3~1b图01-11-2911OBxCxA解：运动分析：滑块B沿直线作往复运动列运动方程：如图所示，取滑块B的直线轨迹为x轴，o为坐标原点。由几何关系可知，B点的运动方程应为：)(coscosaLrCBOCOBx　　　　　)()(sin1sin1cos:sinsin:222bLrLr　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　即　　又因。以后的项目均可略去故则因一般的连杆机构中　　　　　　得展开为级数将)sin81,0016.0,04.0,2.0(sin211sin81sin211sin1,sin14442224422222)()sin211(cos:22dtLtrx　　　　　　　　从而运动方程简化为)()2cos4(cos)41(:)()2cos1(21sin:22ettrLxdtt　　　　　　　　式并整理得代入　　　　　　　可得利用倍角三角函数公式avt及即可得分别求一阶和二阶导数将上式对)()2cos(cos2gttrdtdva　　　　2005-7-910例3、图1~6是矿井提升机。主要数据如下：提升高度为876m，开始提升时罐笼的加速度是0.7m/s2,速度达到7.84m/s后,即以此速度匀速提升,最后再以减速度0.7m/s2减速提升,直到最后停止。试求提升一所需的时间T。otv1t2t3tTabocsm/84.76~1图7~1图第二节点的平面曲线运动解：运动分析：罐笼沿铅垂线运动，第一阶段为匀加速直线运动，第二阶段为匀速直线运动，第三阶段为减速直线运动，图1~7为该罐笼的速度图。列运动方程：1).t1的计算由匀加速直线运动公式:111tavvo代入上式即可求得时时将;/7.0,/84.7,;/7.0,0,0211121smasmvttsmavtost2.1112).t3的计算由匀减速直线运动公式:3323tavv代入上式即可求得时将.0,;/7.0,/84.7332312vttsmasmvvst2.1133).t2的计算最后计算t2。必须考虑起动和制动阶段所走过的路程。在t1时间内提升罐笼的高度h1，可由匀变速运动的路程公式求得：2111121tatvhomh44)2.11(7.021:21代入数据得mh44:3同理可求出mhhhh788442876:312于是可求出sttttSt8.1222.114.1002.11:4.10084.7788:,3212时间为从而可得提升一次所须故该阶段所须时间为运动阶段由于该阶段为匀速直线§1~2点的平面曲线运动——点的运动轨迹是一条平面曲线举例：人造地球卫星的运动轨迹——椭园（图１～８）火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹——摆线（图１～９）描述点的平面曲线运动有两种方法——自然坐标法、直角2005-7-924xyz2005-7-92601-5-1224xyMo１、自然坐标法：运动方程：如图１～１０所示，O点——为参考点。S——为弧坐标，是时间ｔ的单值函数，即：)6~1()(　　　　　　tfSSOM)()(速度运动．线　　　　　　　　　直可以近似的认为点沿况下　　　　　　　　　情很小的在的矢量指向　　　　　　　　　它是时间间隔内点的位移——如图所示MMtMMtMM,.,:2005-7-92601-5-122601-5-1226)()(MM?vtttv?ssotMMvvtMM**,.　　　　　　表示用的比与—位移—平均速度讨论：速度的大小和方向tMMvvtt0*lim.0　　　　　　值时的——瞬时速度大小:)7~1(limlim000　　　　　　　，因此，速度的大小为时，dtdststMMvsMMttt方向:向运动的一方。点的切线方向一致，指与的方向点，因此，时，MMMMMt0的平均曲率—弧—ssK*2005-7-93001-5-1329MTMTOS12~1图点的曲率——MdsdsKs0lim曲率加速度时间内的平均加速度——　　ttvtvva*点处的瞬时加速度——　　　Mdtdvtvat0lim2005-7-93101-5-1329MO13~1图Mvvs2vvvttt)()(BC1v2121:::)1(:vvvvABvBCvABvMBMBMCv　　　　　　　　个分量，并有两和分成线。这样就把　接，连，使上取在分成两个部分　量的构成，可将速度的增　　　为了研究加速度、加速度的组成　　　讨论)8~1(limlimlim:0,013~1201002121atvtvtvaatvtvvABvBCttt　　　　　　　　　　　　可分解为内的变化。于是加速度的方向在表示速度内的变化，表示速度的大小在。因此，重合，于是就有和点点化；如果速度的方向不变重合，于是就有和点变，点中，如果速度的大小不图切向加速度：　　tvat10lim大小由于v1是表示速度的大小改变所产生的增量，故在数值上它等于先后两瞬时速度大小之差，即vvvv1切向加速度的大小为：)9~1()(limlimlim220010　　　　　　　　　　　　　tfdtsddtdvtvtvvtvattt方向——轨迹上M点的切向方向。如果在某一瞬时加速度为正，则表示其指向轨迹正向一边，反之指向轨迹负向一边。法向加速度：　　tvatn20lim大小法向加速度的大小为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2000020limlimlimlimlimvdtdsvtssvtssvtvtvatttttn方向——沿轨迹的法线（曲率半径）指向曲率的中心。全加速度：naaa大小22naaa方向naatanManaa注：判别点作加速运动还是减速运动，是用a，而不是用a,与直线运动情形相似,当v与a同号,点作加速运动,反之作减速运动。几种特殊情况时的曲线位移——时的曲线位移——　　　　　　　　　　　　　　匀速曲线运动tstsvtssoo0)13~1().1()16~1()(2)15~1(21)14~1().2(222　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　匀变速曲线运动ooooossavvtatvsstavv例3、图1~16为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴o转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径R=16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为y=2t2，y以cm为计，t以s为计。求卷筒边缘上一点M在t=4s时的速度和加速度。解：（1）、分析运动卷筒边缘上M点沿半径为R的圆周运动。（2）、列运动方程，求未知量卷筒边缘上M点沿半径为R的圆周运动。22:,0,:tysMMMAtAtMoo　　　　　坐标为点的弧处，点到达处，料斗在处；在瞬时料斗在，此时为弧坐标原点设AoAyRoMMMoaana21425.0arctan25.0164/5.16164/161616/4/1644422222