与椭圆有关的最值问题

教材分析1与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。1．定义法例1。P(-2,3),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。分析：欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义︱MF2︱=2a-︱MF1︱,F1为椭圆的左焦点。解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1延长PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知–︱PF1︱︱MP︱-︱MF1︱︱PF1︱当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。因为2a=10,︱PF1︱=2所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12,（︱MP︱+︱MF2︱）min=8结论1：设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2,P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱,最小值为2a–︱PF1︱。例2：P(-2,6),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小，求最大值方法同例1。解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱。∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是10+37，最小值是41。结论2：设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2,P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为PF2。2.二次函数法例3．求定点A(a,0)到椭圆12222byax上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱PA︱，转化为x,y的函数，求最小值。解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱PA︱2=(x-a)2+y2=(x-a)2+1-x212=2)2(21ax+1-a2由椭圆方F2F1M1M2o教材分析2程知x的取值范围是[-2,2]（1）若︱a︱≤22,则x=2a时︱PA︱min=21a（2）若a22,则x=2时︱PA︱min=︱a－2︱（3）若a－22,则︱PA︱min=︱a+2︱结论3：椭圆12222byax上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法例4：椭圆14222yx上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。分析：若按例3那样d=542yx转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元。解：d=542yx∵14222yx∴令Ryxsincos2则d=54sin2cos2=2)4sin(252当sin)4(=1时,dmin=510254,当sin)4(=﹣1时,dmax=510254结论4：若椭圆12222byax上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线m：x+2y+c=0将x=﹣2y﹣c代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由△=0解得c=±22,c=-22时直线m：x+2y-22=0与椭圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行教材分析3直线m与l的距离，所以dmin=510254c=22时直线m：x+2y+22=0与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以dmax=510254。结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确率。