时间响应 2

仲志丹[e-mail]机械电子工程教研室控制工程基础时间响应分析2ThetimeresponseanalysisⅡ控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹本讲内容第四章时间响应分析4.2二阶系统的时间响应•二阶系统数学模型•单位阶跃响应•单位脉冲响应4.3瞬态响应的性能指标肥皂泡的一生控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹4.3二阶系统的时间响应一、二阶系统的数学模型凡是能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统在控制工程上非常重要，因为很多实际系统都是二阶系统。许多高阶系统在一定条件下可以近似地简化为二阶系统来研究。因此，分析二阶系统的响应特性具有重要的实际意义。控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹二阶系统的微分方程及传递函数分别为22()2()()()onononixtxtxtxt典型二阶系统的方块图及其简化形式如图所示2(2)nnss+()iXs()Es()oXs2222nnns()iXs()oXs222()()()2oninnXsGsXsss控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹机械移动系统()mxBxkxftⅱ?++=mBk)(tfx()()()21XsGsFsmsBsk==++其传递函数二阶系统的固有频率和阻尼比是两个重要的结构参数，因为它们决定着二阶系统的时间响应特征。222122nnnnksskBmkmwx=++==式中，控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹通常称系统传递函数的分母为特征多项式，令分母等于0，可得二阶系统的特征方程为2220nnssxww++=求解特征方程，得到系统的两个极点为21,21nnsxwwx=-?由此可见，二阶系统的极点由阻尼比和固有频率决定，尤其是随着阻尼比取值的不同，二阶系统极点性质也各不相同x222()()()2oninnXsGsXsss控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹21,21nnpxwwx=-?2121nnndPjj、n、P212121nnP、12nPj、欠阻尼：0ξ1临界阻尼：ξ=1过阻尼：ξ1无阻尼：ξ=0控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹二、二阶系统的单位阶跃响应()()()()2222noinnXsGsXsssswxww==++拉氏反变换，得到二阶系统的单位阶跃响应为()()()211222noonnxtLXsLssswxww--轾犏轾==犏臌++犏臌输入信号()()()11ixttXss==i则则控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹()()()211222noonnxtLXsLssswxww--轾犏轾==犏臌++犏臌下面根据阻尼比的不同取值来分析二阶系统的单位阶跃响应x212,30,1nnppxwwx==-?其中：131223KKKLsspsp-轾犏=++犏--臌32123ptptKKeKe=++控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹()()2222nonnXsssswxww=++1、欠阻尼系统n-ξω1sj2sdjω0具有一对共轭复数极点，展开成部分分式，即1x21dnwwx=-其中：()()22221nnndndssssxwxwxwwxww+=--++++22212nnnssssxwxww+=-++控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹()()()()222211cossin1sin11cossin101nnnnttoddtdtddxtetetetttetxwxxwwxwxwwxxwxwxwjx----=---=--+---+³=221arctan1dn式中，有阻尼振荡频率xjxwwx-==-?对上式进行拉氏反变换，得到控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹瞬态分量是一个以为频率的衰减振荡过程，其衰减的快慢取决于和的大小，指数称为衰减指数。dwnwxnxw()()2sin1ntodexttxwwjx-=+-1-包络线由两部分组成1.瞬态分量2.稳态分量控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹()()()()222222211nonnnnnnnXssssssssswx=++==--+++()()()1110nnnttontnxteteettxwxwx=--=-+?2、临界阻尼系统()x=11,2npw=-具有两个相等的负实数极点1,2sj-n0控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹临界阻尼二阶系统的阶跃响应是一条无振荡、无超调的单调上升曲线，处于振荡与不振荡的临界状态。()()11ntonxtetxww-=-+控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹3.过阻尼状态()x1＞有两个不相等的负实数极点系统的单位阶跃响应的拉氏变换可展开成部分分式，即21,21nnpxwwx=-?2221()(1)(1)nonnnnXssss1221211()121ptptnoxteepp1sj2s0控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹1pte2pte112pp1pte2pte2pte式中包含两个衰减项和如果，则，的衰减要比快得多，过渡过程的变化以项起主要作用，因而可忽略第一项。此时二阶系统蜕化为一阶系统。2122(1)(1)nnpp1221211()121ptptnoxteepp控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹过阻尼时的单位阶跃响应是一条无振荡、无超调的单调上升曲线，二阶系统的过渡过程时间较长。1221211()121ptptnoxteepp控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹4.无阻尼状态()x=0具有一对共轭虚数极点()()()2222222212nnonnnnsXssssssss===-++++()()1cos0onxtttw=-?\二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换可展开成部分分式，即1,2npjw=?1sj2s0njnj-控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹是一条无阻尼等幅振荡曲线，二阶系统处于临界稳定状态。()1cosonxttw=-控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹总的四种情况可作出不同阻尼比下一簇系统对单位阶跃函数的响应曲线。控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹当阻尼比1时随着的减，二阶系统的瞬态过程具有单调上升的特性，系统的稳定性较好。，振荡性加强，但小当减小到0时仍是衰减振荡。，响应过程变为等幅振荡，达到临界稳定状态。xxx³控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹系统不仅瞬态过程时间短，而且振荡也不严重。因此，实0.40.8时，0.4际二阶系统一般设计为的欠阻尼系统，以便系统既快0又稳地跟踪输入信号。.8xx＃＃控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹4.4高阶系统的响应分析用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。通常高阶系统的时间响应是由一阶系统和二阶系统的时间响应叠加而成。在分析高阶系统时，通过建立主导极点和偶极子的概念，将高阶系统简化为二阶系统，再利用二阶系统的结论，对高阶系统进行近似地分析。控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹高阶系统的闭环传递函数通常可以写成如下形式：()()()()()()10111011122112mmommnninnmiiqrjkkkjkXsbsbsbsbsXsasasasaKszspssxww----===++鬃?+F==++鬃?+-=-++Õ照在单位阶跃信号作用下，可以求得高阶系统的时间响应为：控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹()()()()()-2111sin1-01,,1,,jkkqrpttojkkkkjkjkkxtaebetctajqbckrxwxw===+++?=鬃?鬃?邋式中和与系统参数有关的常数。﹑─由此可见,高阶系统的单位阶跃响应包含指数函数分量和衰减正弦函数分量。各闭环极点产生的分量对系统的影响程度是不同的。距离虚轴很近的极点则对系统的时间响应起主导作用，因而被称为主导极点。另外，一对靠得很近的零点和极点可以相抵消。这一对靠得很近的零点和极点称为偶极子。偶极子的概念对控制系统的综合设计很有用，它可以消去对系统性能有不利影响的极点，使系统性能得到改善。控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹4.5瞬态响应的性能指标一个控制系统有三方面的性能要求，即1.稳定性2.准确性3.快速性通常，在以下假设前提下来定义系统瞬态响应（也称过渡过程）的性能指标：系统在单位阶跃信号下的瞬态响应；初始条件为零，即在单位阶跃输入作用前，系统处于静止状态，输出量及其各阶导数均为零。控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹为什么使用单位阶跃作为标准信号？因为阶跃输入对于系统来说，工作状态较为恶劣，如果系统在阶跃信号作用下有良好的性能指标，则对其它各种形式输入就能满足使用要求。为便于对系统性能进行分析比较，因而在上述假定条件下定义系统的性能指标。控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹rppsttMt性能指标主要有上升时间峰值时间最大超调量调整时间。﹑﹑﹑1)(otxt0％或2%5ΔPMrtPtst控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹欠阻尼系统：响应曲线从原始工作状态出发，第一次达到稳态值所需要的时间称为上升时间。过阻尼系统：响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。1)(otxt0％或2%5ΔPMrtPtst221,1arctandnwwxxjx=--=2()1sin()11nrtordrextt21rdnt1、上升时间tr控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹响应曲线从原始工作状态出发到达第一个峰值所需要的时间。1)(otxt0％或2%5ΔPMrtPtst0()0pttdxtdt==21pdntppwwx==-2、峰值时间tp控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹响应曲线的最大峰值对稳态值之差与稳态值之比称为最大超调量Mp，通常用百分数(%)来表示，即()()()100%opopoxtxMx-?=?¥1)(otxt0％或2%5ΔPMrtPtst()21100%/1pdpoxetM将，代入上式，整理后可得xpxpw--=´¥==3、超调量MppnM由此可见，最大超调量只与系统的阻尼比有关，而与固有频率无关。xw控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹在响应曲线的稳态值处取±△(一般为5%或2%)作为允许误差范围，响应曲线到达并将一直保持在这一误差范围内所需要的时间。000()()()xtxx2sin()()1ntdsetttsin()1dt)(12sttten工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。nst3(=5%)nst4或（=2%时）4、调整时间ts控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹spsptttM综上所述，二阶系统的性能指标中，上升时间峰值时间和调整时间反映二阶系统时间响应的快速性，最大超调量反映二阶系统时间响应的平稳性。﹑1)(otxt0％或2%5ΔPMrtPtst控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹结构参数对单位阶跃响应性能的影响控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0控制工程基础机械电子工程教研室仲志丹小结掌握二阶系统的阻尼比对单位阶跃响应的影响掌握时间响应性能指标的概念习题：4.7、4.9