两条直线的交点坐标

3.3.1两直线的交点坐标思考0CyBxA:l0CyBxA:l22221111已知两条直线相交，如何求这两条直线的交点？oxy几何元素及关系代数表示点A直线l点A在直线l上直线l1与l2的交点是AA的坐标满足方程A的坐标是方程组的解思考并回答下面的问题b)A(a,0CByAx:l0CBbAa:l0CyBxA0CyBxA222111用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解。0CyBxA0CyBxA222111二元一次方程组的解与两条直线的位置关系。两直线平行两直线重合两直线相交无解无穷多解唯一解0CyBxA0CyBxA222111求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标。oxy(1,-1)M例一3x+2y－1=02x－3y－5=0解：解方程组：x=1y=-1得：所以两直线交点是M（1，-1）。在例一中我们已经求得直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M（1，-1），方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示什么图形？图形有什么特点？思考将M（1，-1）代入方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0得0+λ×0=0∴M点在直线3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0上λ变化，斜率随之变化，但始终经过M（1，-1）λ=0时，方程为3x+2y－1=0λ=1时，方程为5x-y-6=0λ=-1时，方程为x-5y+4=0发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）由图形观察：xyOA1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。在3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示的直线集合中，如何确定经过点（-2，5）的直线？将坐标（-2，5）代入方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0，得到.81λ再将，代入3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0，得到直线方程22x+19y-3=0.81λ此方程即为所求。判断下面各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：(1)l1:3x+4y－2=0，l2:2x+y+2=0；(2)l1:3x+5y-2=0,l2:6x+10y+7=0;(3)l1:x-2y+3=0,l2:3x-6y+9=0;例二3x+4y-2=02x+y+2=0(1)解方程组：x=-2y=2得：所以两直线交点是M（-2，2）3x+5y－2=0①6x+10y+7=0②(2)解方程组：①×2-②得：-11=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1//l2。x-2y+3=0①3x-6y+9=0②(3)解方程组：①×3得：3x-6y+9=0因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合。一般情形：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？0CyBxA:l0CyBxA:l22221111重合与21ll平行与21ll相交与21ll之间的位置关系有与直线21llCCBBAA212121重合与21ll若两直线都存在斜率，否则，212121CCAA0,BB重合与21ll12211221BAB,ACACA重合与21ll所以，若两直线都存在斜率，否则，212121CCAA0,BB12211221BAB,ACACA所以，平行与21ll平行与21llCCBBAA212121平行与21ll若两直线都存在斜率，否则，21BB1221BABA所以，2121BBAA相交与21ll相交与21ll相交与21ll课堂小结用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解。0CyBxA0CyBxA222111两直线平行两直线重合两直线相交无解无穷多解唯一解0CyBxA0CyBxA222111