时间序列中的ARMA模型

1ARMA模型的概念和构造2一、ARIMA模型的基本内涵一、ARMA模型的概念自回归移动平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,简记为ARMA模型），由因变量对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值回归得到。包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）。3ARIMA模型的概念一.移动平均过程1.移动平均（MA）过程的表示：其中u为常数项，为白噪音过程引入滞后算子L，原式可以写成:或者tt1t-12t-2qt-qY=u++++...+qititti=1Y=u+L+ttY=u+(L)2q12q(L)=1+L+L...L4ARIMA模型的概念2.MA（q）过程的特征1.2.3.自协方差①当kq时＝0②当kq时对于任意的，MA(q)是平稳的。tvar(Y)222212q(1...)tE(Y)=uk2k1k+12k+2qq-kk=(...)5ARIMA模型的概念二.自回归（AR）过程1.自回归（AR）过程表示为：其中为为白噪音过程引入滞后算子，则原式可写成其中t1t-12t-2pt-ptY=c+Y+Y+...+Y+vtvtt(L)Y=c+v2p12p(L)=1-L-L-...-L6ARIMA模型的概念2.AR(p)过程平稳的条件如果特征方程：的根全部落在单位圆之外，则该AR(p)过程是平稳的2p12p1-Z-Z-...-Z07ARIMA模型的概念3.AR(p)过程的特征=0，的无条件期望是相等的，若设为u，则得到:t1t-12t-2E(Y)=c+E(Y)+E(Y)+...+pt-ptE(Y)+E(v)tE(v)tt-1t-2t-pYYYY、、、...12pcu=1(...)8ARIMA模型的概念……将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程的方差及各级协方差。t1t-12t-2pt-ptY-u=(Y-u)+(Y-u)+...+(Y-u)+v201122pp=++...++11021pp-1=++...+p1p-12p-2p0=++...+9ARIMA模型的概念三.自回归移动平均（ARMA）过程1.ARMA过程的形式其中为白噪音过程。若引入滞后算子，可以写成其中t1t-12t-2pt-p1t-12t-2qt-qtY=c+Y+Y+...+Y+++...++ttt(L)Y=c+(L)2p12p(L)=1-L-L-...-L2q12q(L)=1+L+L...L10ARIMA模型的概念2.ARMA过程平稳性的条件ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。当满足条件：特征方程的根全部落在单位圆以外时，ARMA(p,q)是一个平稳过程。2p12p1-Z-Z-...-Z011ARIMA模型的概念3.ARMA(p,q)过程的特征1）2）ARMA(p,q)过程的方差和协方差t12pcE(Y)=1(...)12ARIMA模型的概念四.AR、MA过程的相互转化结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程，可采用递归迭代法完成转化结论二：特征方程根都落在单位圆外的MA(q)过程具有可逆性平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的，所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对MA过程而言的。13二、Box-Jenkins方法论建立回归模型时，应遵循节俭性(parsimony)的原则博克斯和詹金斯(BoxandJenkins)提出了在节俭性原则下建立ARMA模型的系统方法论,即Box-Jenkins方法论14Box-Jenkins方法论Box-Jenkins方法论的步骤：步骤1：模型识别步骤2：模型估计步骤3：模型的诊断检验步骤4：模型预测15三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测(一).ARMA模型的识别1.识别ARMA模型的两个工具：自相关函数(autocorrelationfunction,简记为ACF）；偏自相关函数(partialautocorrelationfunction,简记为PACF)以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对于滞后长度描图）。16ARMA模型的识别2.自相关函数和偏自相关函数的概念①自相关函数过程的第j阶自相关系数即，自相关函数记为ACF(j)。②偏自相关函数偏自相关系数度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数记为PACF(j)tYj0j*j17ARMA模型的识别③自相关函数和偏自相关函数的联系2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复杂，这里不再给出。*11=*222211=(-)(1)18ARMA模型的识别2.MA、AR、ARMA过程自相关函数及偏自相关函数的特点⑴MA(q)过程的自相关函数1≤j≤qjq时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程的一个特征如下图：222j1j+12j+2qq-j12q1j=0ACF(j)(...)(1...)0jq19ARMA模型的识别MA（2）过程tt-1t2ty=0.5u0.3uu20ARMA模型的识别⑵AR(p)过程的偏自相关函数时，偏自相关函数的取值不为0时，偏自相关函数的取值为0AR(p)过程的偏自相关函数p阶截尾如下图：jpjq21ARMA模型的识别tt-1ty=0.5yu22ARMA模型的识别tt-1ty=yu23ARMA模型的识别⑶AR(p)过程的自相关函数以及MA(q)过程的偏自相关函数平稳的AR(P)过程可以转化为一个MA(∞）过程，则AR(P)过程的自相关函数是拖尾的一个可逆的MA(q)过程可转化为一个AR(∞）过程，因此其偏自相关函数是拖尾的。24ARMA模型的识别⑷ARMA(p,q)过程的自相关函数和偏自相关函数ARMA过程的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的如下图：25ARIMA模型的识别tt-1t-1ty=0.5y0.5uu26ARMA模型的识别3.利用自相关函数、偏自相关函数对ARMA模型进行识别⑴通过ADF检验，来判断序列过程的平稳性；⑵利用自相关函数、偏自相关函数以及它们的图形来确定p,q的值。27（二）ARMA模型的估计ARMA模型的估计方法：矩估计极大似然估计非线性估计最小二乘估计28（三）ARMA模型的诊断一.诊断的含义二.诊断的方法三.检验统计量Box和Pierce提出的Q统计量Ljung和Box(1978)提出的LB统计量。29ARIMA模型的诊断1.Q统计量，近似服从（大样本中）分布其中n为样本容量，m为滞后长度2.LB统计量，服从分布，其中n为样本容量，m为滞后长度。3.LB统计量的特点m2kk=1ˆQ=n2(m)m2kk=1ˆLB=n(n+2)((n-k))2(m)30ARMA模型的诊断四.信息准则(informationcriteria)Akaike信息准则Schwarz信息准则Hannan-Quinn信息准则其中为残差平方，是所有估计参数的个数，T为样本容量。22kˆAIC=log()T2kˆSC=log()logTT22kˆHQIC=log()log(logT)T2ˆk=p+q+131ARMA模型的预测一.基于AR模型的预测以平稳的AR(2)过程为例：其中为零均值白噪音过程……t1t-12t-2tY=c+Y+Y+utut+11t2t-1t+1Y=c+Y+Y+ut+21t+12tt+2Y=c+Y+Y+u32ARMA模型的预测在t时刻，预测的值：=在t时刻，预测的值：同理：…结论t,1t+1tf=E(YI)1t-12t-2c+Y+Yt+1Yt+2Yt,2t+2t1t+1t2t1t,12tf=E(YI)=c+E(YI)+Y=c+f+Yt,31t,22t,1f=c+f+ft,41t,32t,2f=c+f+f33ARMA模型的预测二.基于MA过程的预测过程结论：MA(2)过程仅有2期的记忆力34ARMA模型的预测三.基于ARMA过程的预测结合对AR过程和MA过程进行预测ARMA模型一般用于短期预测35五、实例：ARMA模型在金融数据中的应用数据：1991年1月到2005年1月的我国货币供应量（广义货币M2）的月度时间序列数据目的：说明在Eviews5.0软件中利用B-J方法论建立合适的ARIMA（p,d,q）模型36ARMA模型的估计37利用ARMA模型进行预测用dynamic方法估计2003年1月到2005年1月的w238利用ARMA模型进行预测利用“static”方法估计2004年1月到2005年1月的w2