时间序列分析1

最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及引言尼罗河涨落的情况古埃及的农业迅速发展埃及灿烂的史前文明按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列随机序列：按时间顺序排列的一组随机变量时间序列的定义},{TtXt观察值序列：随机序列的n个有序观察值，称之为序列长度为n的观察值序列},,2,1,{ntxt时间序列分析方法描述性时序分析统计时序分析描述性时序分析案例——太阳黑子的活动统计时序分析频域分析方法时域分析方法原理时域分析方法事件的发展惯性序列值之间的关系统计规律目的时域分析方法寻找统计规律拟合数学模型预测未来走势平稳性检验纯随机性检验宽平稳序列特征统计量均值方差自协方差自相关系数dxxxfEXttt)(dxxfxXEDXttttt)()()(22))((),(ssttXXEststDXDXstst),(),(宽平稳序列TtEXt,)12满足若时间序列},{TtXtTtEXt为常数，,)2Ttksksttkskst,,,),(),()3，.},{是宽平稳时间序列则称TtXt宽平稳序列的特征协方差结构的平移不变性常数均值常数方差实际应用的普遍性),(),(tkskstTtXEt,)(TtttXDt),,()(指的都是宽平稳序列以后碰见平稳序列,平稳性的检验图检验方法统计检验方法时序图检验自相关图检验单位根检验时序图检验根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零例子例1.检验1964年——1999年中国纱年产量序列的平稳性时序图自相关图例子例2.检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性时序图自相关图例子例3.检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平稳性时序图自相关图纯随机序列没有记忆的序列过去的行为对将来的发展丝毫没有影响纯随机序列是没有任何分析价值的序列满足若时间序列},{TtXtTtEXt为常数，,)1).,(~.,},{2WNXTtXtt记为也称白噪声序列是纯随机序列则称纯随机序列Tstststst,,,0,),()22白噪声序列的性质纯随机性00)(kk，方差齐性)0(2tDX例子例4.随机产生1000个服从标准正态分布的白噪声序列观察值.时序图自相关图纯随机性检验检验原理——Barlett定理},,,{),,(~212ntxxxWNX观察序列为若0,)1,0(~ˆknNk那么纯随机性检验假设条件1,0210mHm：mkmHk，：至少存在某个1,01纯随机性检验检验统计量Q统计量LB统计量)(~ˆ212mnQmkk)(~)ˆ()2(212mknnnLBmkk纯随机性检验判别原则当检验统计量大于分位点，或该统计量的P值小于时，则可以以的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列，否则，就接受原假设，即认为该序列为白噪声序列。21()m1例子例4.(续)检验结果LBQLBQ延迟统计量检验统计量值P值延迟6期2.360.8838延迟12期5.350.9454结论：P接受原假设即该序列是白噪声序列例子时序图例5.对1950年——1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验自相关图检验结果LBQLBQ延迟统计量检验统计量值P值延迟6期75.460.0001延迟12期82.570.0001结论：P拒绝原假设即该序列是非白噪声序列平稳非白噪声序列的建模及预测1tttxxx111tptptpxxxktttkxxx差分运算一阶差分p阶差分k步差分ttBxx1延迟算子ttxBx22tpptxBxtktkxBx)1(延迟算子与差分运算tktktktttkxBxBxxxx)1(k阶差分k步差分)(2211thxaxaxaxptpttt线性差分方程02211ptptttxaxaxaxAR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110，.)(,00模型称为中心化时当pARAR模型具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)p101ttxyAR(p)序列中心化变换令.}{}{的中心化序列为则ttxytptptttyyyy2211今后都简化为对中心化模型进行分析ttxB)(ppBBBB2211)(令tptptttxxxx2211AR模型ttpptttxBxBBxx221ttpptttxBxBBxx221p阶自回归系数多项式AR模型平稳性判别图示法特征根判别法平稳域判别法1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx12(3)0.5ttttxxxttttxxx115.0)4(例子例1.考察如下四个模型的平稳性1(1)0.8tttxx时序图图示法时序图1(2)1.1tttxx12(3)0.5ttttxxx时序图ttttxxx115.0)4(时序图特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的特征根都在单位圆内mimpiii,,2,1,12,,2,1,1AR(p)模型平稳的充要条件是自回归系数多项式的根都在单位圆外平稳域判别内使得特征根都在单位圆维欧氏空间的一个子集参数向量只能取,pAR(p)模型的平稳域}|,,,{21特征根都在单位圆内即ptttxx1AR(1)模型的平稳域01ttttxxx2211AR(2)模型的平稳域021224242211222111}11),{(12221，且1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx12(3)0.5ttttxxxttttxxx115.0)4(例子例2.考察如下四个模型的平稳性8.010.81.111.1211i212i221210.5,0.5,1.523112312221210.5,1.5,0.5模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳平稳AR模型自相关系数的性质拖尾性呈复指数衰减ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115.0)4(5.0)3(8.0)2(8.0)1(例子例3.考察如下AR模型的自相关图1(1)0.8tttxx1(2)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx12(4)0.5ttttxxx平稳AR模型偏自相关系数的截尾性ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115.0)4(5.0)3(8.0)2(8.0)1(例4.考察如下AR模型的偏自相关图1(1)0.8tttxx0.8,10,2kkkk1(2)0.8tttxx0.8,10,2kkkk12(3)0.5ttttxxx2,130.5,20,3kkkkk12(4)0.5ttttxxx2,130.5,20,3kkkkk.)(,0模型称为中心化时当qMAMA模型具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，简记为MA(q)112220()0(),()0,ttttqtqqtttsxEVarEst，ttBx)(qqBBBB2211)(令qtqttttx2211MA模型q阶移动平均系数多项式tqqttttBBBx221tqqtBBBx)1(221例子例5.考察如下MA模型的相关性质212111162545)4(251654)3(5.0)2(2)1(ttttttttttttttxxxx112tttx（）自相关图120.5tttx（）124163525ttttx（）125254416ttttx（）自相关图112tttx（）120.5tttx（）偏自相关图124163525ttttx（）125254416ttttx（）偏自相关图MA模型的可逆性自相关系数的不唯一性自相关系数和模型之间不是一一对应给模型增加约束条件——可逆性条件MA(q)模型的可逆条件—特征根判别MA(q)模型可逆的充要条件是它的特征根都在单位圆内qii,,2,1,1MA(q)模型可逆的充要条件是移动平均系数多项式的根都在单位圆外MA(q)模型的可逆条件—可逆域判别内使得特征根都在单位圆维欧氏空间的一个子集参数向量只能取,qMA(q)模型的可逆域}|,,,{21特征根都在单位圆内即q11tttxMA(1)模型的可逆域011112211ttttx021224242211222111MA(2)模型的可逆域}11),{(12221，且.),(,00模型称为中心化时当qpARMAARMA模型具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)tsExtsEVarExxxtsstttqpqtqttptptt,0,0)(,)(0)(00211110，，ttBxB)()(ppBBBB2211)(令ARMA模型qqBBBB2211)(令平稳条件ttBz)(令ttzxB)(ARMA(p,q)模型的平稳条件:的根在单位圆外0)(B可逆条件ttxBz)(令ttBz)(ARMA(p,q)模型的可逆条件:的根在单位圆外0)(B例子例6.拟合下列模型ARMA(1,1),并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。118.05.0ttttxx自相关系数拖尾性自相关图偏自相关系数拖尾性偏自相关图模型自相关系数偏自相关系数AR(p)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾ARMA模型相关性特征平稳序列建模建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测平稳非白噪声