时间序列分析与建模简介

（2004年教案）辨识与自适应第五章1第五章时间序列分析与建模简介时间序列建模（Modellingviatimeseries）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box和Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。引言根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。§5—1ARMA模型分析一、模型类把具有相关性的观测数据组成的时间序列{xk}视为以正态同分布白噪声序列{ak}为输入的动态系统的输出。用差分模型ARMA(n,m)为(z-1)xk=(z-1)ak式（5-1-1）（2004年教案）辨识与自适应第五章2其中：(z-1)=1-1z-1-…-nz-n(z-1)=1-1z-1-…-mz-m离散传函式（5-1-2）为与参考书符号一致，以下用B表示时间后移算子即：Bxk=xk-1B即z-1，B2即z-2…(B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。二、关于格林函数和时间序列的稳定性1．格林函数Gi格林函数Gi用以把xt表示成at及at既往值的线性组合。式（5-1-3）GI可以由下式用长除法求得：例1．AR(1):xt-1xt-1=atxBBBaBBaatttjtjj()()()1111112210)()()(111zzzG0jjtjtaGxttaBBx)()(（2004年教案）辨识与自适应第五章3即：Gj=1j（显示）例2．ARMA(1,1):xt-1xt-1=at-1atG0=1;Gj=(1-1)1j-1,j1（显示）例3．ARMA(2,1)(1-1B-2B2)xt=(at-1B)at得出：G0=1G1=0G0-1G2=1G1+2G0.....Gj=1Gj-1+2Gj-2（j2）Gj为满足方程(1-1B-2B2)Gj=0的解，称为隐式表达式。该结论可推广到ARMA(n,m)模型。2．格林函数与系统稳定性当j时：Gj有界，则系统稳定；Gj衰减，则系统渐进稳定；Gj发散，则系统不稳定。例：AR(1):Gj=1j当1时，Gj衰减，渐进稳定；当=1时，Gj=1j=1，有界，则系统稳定；当1时，Gj发散，不稳定。（2004年教案）辨识与自适应第五章4例：ARMA(2,1)1和2和为特征方程的根，有1+2=1和12=2当11且21时，ARMA(2,1)渐进稳定；当1=1且21或11且2=1时，ARMA(2,1)稳定；当1=2且或1=2（两根同号）时，不稳定。由此得出ARMA(2,×)的稳定域如下图所示。tttaBBBaBBBx)1)(1(1112112211（2004年教案）辨识与自适应第五章5ARMA(2,m)的稳定域三、逆函数与逆稳定性逆函数Ij表示xt的既往值对当前值的影响，与格林函数Gj表示既往的at值对xt的影响正相反。定义：即：或：at=(1-I1B-I2B2-…)xtat格林函数xtxt逆函数at1jtjtjtaxIx)1(;)(010IxIxIxajjjtjjtjtt0)()(jjjBGBB0)()()(jjjBIBB（2004年教案）辨识与自适应第五章6系统逆稳定的条件是(B)的根1（落在单位园内）。合理的模型不仅要求是稳定的，也要求是逆稳定的，因为如果1，即意味着过时愈久的xt的老数据对xt的现在值影响愈大，这显然是不合理的。5.自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性(略)§5—2时间序列建模及其应用一、关于吴宪民andPandit的建模策略简介ARMA(n,m)模型,当n和m设定后,可由非线心、非线性最小二乘法估计参数,并计算出残差平方总和(R.S.S.)。设定不同的n和m值，用F检验比较R.S.S.，确定合理的n、m值。穷举法（最笨的建模策略）：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。吴宪民—Pandit建模策略目的是减少建模的搜索次数。策略可概括为：10.按照ARMA(2n,2n-1)拟合模型，即当nn+1时，模型增加2阶，理由是过程的基点往往是成对的。20.检查ARMA(2n,2n-1)模型的高阶项参数2n和2n-1的绝对值是否很小，它们的置信区间是否包含零在内？若是，则进一步拟（2004年教案）辨识与自适应第五章7合下降一阶后的模型ARMA(2n-1,2n-2)，并用F检验检查。30.探索进一步降低MA的阶次的可能性，即设ARMA(2n-1,m)，m2n–1，用F检验确定。补充：关于参数估计误差的置信区间假定参数估计符合正态分布N（0，2）则估计值的置信区间(95%置信度)为：j1.96j参数的估计误差协方差阵为：j的置信区间为：j=1,2,…二、时间序列建模应用举例例1.太阳黑子年均数,由1749-1924年共计176个观测数据。拟合ARMA（2，1）模型，F检验ARMA（4，3）较前者没有明显改善。ARMA（2，1）模型估计结果为：参数估计95%置信区间1=1.42(1.26~1.58)2=-0.72(-0.86~-0.58)1=0.15(-0.07~0.37)n11T22TVar....Cor.CorVar)(P]))(E[()(Var96.1j（2004年教案）辨识与自适应第五章8因为1的值较小，而且置信区间包括零在内，所以进一步实验降为AR（2）模型。估计结果：参数估计95%置信区间1=1.43(1.23~1.45)2=-0.65(-0.76~-0.54)F检验表明ARMA（2，1）模型较之AR（2）模型并没有明显改善，而且2的置信区间不包含零，所以AR（2）模型合适。例2．IBM股票每天值（61.5.1~62.11.2）按照吴宪民—Pandit建模策略，得出ARMA（6，5）模型。例3．航空公司月销售额（49.1~60.12）建模结果-ARMA(13,13)一、趋势项和季节性1．恒定趋势即总的趋势保持在同一水平，均值0。引入算子，定义为：=（1-B），即xt=xt-xt-1可以消除恒定趋势。例如IBM股票模型用xt=（1-1B）at更为合适。有恒定趋势的模型有一个极点的绝对值接近为1。2．线性趋势总趋势按照线性规律增减，即模型有两个极点的绝对值接近为1的情况。用算子2=(1–B)2可以消除线性趋势，例如：2xt=（1-1B）at（2004年教案）辨识与自适应第五章93.多项式趋势有多个极点的绝对值接近于1,引入算子3=(1–B)3例如：3xt=（1-1B-2B2）at4.季节性有的时间序列按照一定的周期波动,例如月平均温度是按照12个月的周期波动的，每小时用电量按照24小时的周期变化…，称为季节性。为消除季节性的影响，引入算子：s=1–Bs例如，航空公司的模型AR（13，13）模型中的参数1~12的数值都很小，而接近于零，用周期为12的模型为合适。由于该时间序列不仅有周期为12的季节性，而且还有恒定趋势，所以用以下模型最合适：12=(1–B)(1–B12)xt=(1-1B)(1-12B12)at