Mathematica数学实验——极限和导数

教师指导实验4实验名称：极限和导数的运算一、问题：求一元函数的极限和导数。二、实验目的：学会使用Mathematica求数列和一元函数的极限（包括左极限、右极限），会求一元函数的导数，及利用导函数求原函数的单调区间和极值。三、预备知识：本实验所用的Mathematica命令提示1、Limit[f,x→x0]求函数f(x)在x→x0时的极限；2、Limit[f,x→x0,Direction→-1]求函数f(x)在x→x0时的右极限；Limit[f,x→x0,Direction→1]求函数f(x)在x→x0时的左极限；3、D[f,var]求函数f(x)对自变量var的导数；SetAttributes[k,Constant]设定k为常数；4、FindMinimum[f,{x,x0}]从x0出发求函数f(x)的一个极小值点和极小值。四、实验的内容和要求：1、求数列的极限1lim1nnn、11lim(1)nniii；2、求函数的极限0sinlimxxx、/2limtanxx；1lim(1)xxxe3、求下列函数的导数；sincosnxnx、2coslnxx、2(sin)(cos2)fxfx4、求函数2()2lnfxxx的导数，求其单调区间和极值。五、操作提示1、求数列的极限1lim1nnn、11lim(1)nniii；In[1]:=Limit[n11+n,n-Infinity]Out[1]=eIn[2]:=Limit[ni=11i(i+1),n-]Out[2]=12、求函数的极限0sinlimxxx、/2limtanxx；1lim(1)xxxeIn[3]:=Limit[Sin[x]x,x-0]Out[3]=1In[4]:=Limit[Tan[x],x-Pi/2,Direction--1]Out[4]=-In[5]:=Limit[x(E^1x-1),x-Infinity]Out[5]=13、求下列函数的导数；sincosnxnx、2coslnxx、2(sin)(cos2)fxfxIn[6]:=D[Sin[x]^nCos[nx],x]Out[6]=nCos[nx]Cos[x]Sin[x]-1+nIn[7]:=x(Cos[x]^2Log[x])（注:x可以在基本输入输出模板中输入）Out[7]=2Cos[x]-x2Cos[x]Log[x]Sin[x]In[8]:=D[f[Sin[x]^2]+f[Cos[2x]]]Out[8]=-2Sin[2x]f’[Cos[2x]]+2Cos[x]Sin[x]f’[Sin[x]2]4、求函数2()2lnfxxx的导数，求其单调区间和极值。In[9]:=f[x_]:=2Log[x]–x2In[10]:=D[f[x],x]Out[10]=2-x2xIn[11]:=Solve[D[f[x],x]==0,x]Out[11]={{x--1},{x-1}}In[12]:=Algebra`InequalitySolve`In[13]:=InequalitySolve[{D[f[x],x]0,x0},x]Out[13]=0x1In[14]:=FindMinimum[-f[x],{x,0.05}]Out[14]={1.,{x-1.}}（注：由于Mathematica4.0没有求f(x)极大值的函数，但可以通过求-f(x)的极小值求f(x)极大值，以上的输出结果表明当x=1时，函数有极大值1）In[15]:=FindMinimum[-f[x],{x,0.05}]FindMinimum::fmnum:Objectivefunction-14.4095+6.28319iisnotrealat{x}={-0.000743063}Out[15]=FindMinimum[-f[x],{x,0.05}]（注：由于f(x)没有极大值，Mathematica便给出信息，以输入形式输出）In[16]:=Plot[f[x],{x,0.05,4},AspectRatio-1,AxesLabel-{“x”,”y”},PlotStyle-RGBColor[1,0,0]1234x-12-10-8-6-4-2yOut[16]=-Graphics-学生练习实验4实验名称：极限和导数的运算一、问题：求一元函数的极限和导数。二、实验目的：学会使用Mathematica求数列和一元函数的极限（包括左极限、右极限），会求一元函数及复合函数的导数，利用导函数求原函数的单调区间和极值。三、实验的内容和要求：1、求数列的极限1lim(1)knnn；（k为常数）、lim2sin2nnnx（x为常数）；2、求函数的极限0sin3limsin2xxx、/2limtanxx；/4tan1limsin4xxx3、求下列函数的导数；1111xxxx、21sinxe、2log(sin)fx4、求函数2()1xfxx的导数，求其单调区间和极值。四、操作提示1、求数列的极限1lim(1)knnn；、lim2sin2nnnk（k为常数）；In[1]:=SetAttributes[k,Constant]In[2]:=Limit[11-n^(kn),n-]Out[2]=-keIn[3]:=Limit[nnk2Sin[]2,n-Infinity]Out[3]=k2、求函数的极限0sin3limsin2xxx、/2limtanxx；/4tan1limsin4xxxIn[4]:=Limit[Sin[3x]Sin[2x]，x-0]Out[4]=32In[5]:=Limit[Tan[x],x-Pi/2,Direction--1]Out[5]=-In[6]:=Limit[Tan[x]-1Sin[4x],x-Pi/4]Out[6]=1-23、求下列函数的导数；1111xxxx、21sinxe、2log(sin)fxIn[7]:=D[1+x-1-x1+x+1-x,x]Out[7]=21111-+-1-x+1+x+21-x21+x21-x21+x+1-x+1+x1-x+1+xIn[8]:=D[E^-Sin21[]x,x]Out[8]=21-Sin[]x2112Cos[]Sin[]xxxeIn[8]:=D[Log[2,f[Sin[x]]],x]Out[8]=Cos[x]f'[Sin[x]]f[Sin[x]]Log[2]4、求函数2()1xfxx的导数，求其单调区间和极值。In[9]:=f[x_]:=2x1+xIn[10]:=D[f[x],x]Out[10]=2222x1-+(1+x)1+xIn[11]:=Solve[D[f[x],x]==0,x]Out[11]={{x--1},{x-1}}In[12]:=Algebra`InequalitySolve`In[13]:=InequalitySolve[{D[f[x],x]0,x0},x]Out[13]=-1x1In[14]:=FindMinimum[f[x],{x,0}]Out[14]={-0.5,{x--1.}}In[15]:=FindMinimum[-f[x],{x,0.05}]Out[15]={-0.5,{x-1.}}In[16]:=Plot[f[x],{x,-10,10},PlotRange-{-0.6,0.6},AspectRatio-1/3,PlotPoint-500,PlotStyle-{RGBColor[1,0,0.4],Thickness-0.003}]-10-5510-0.4-0.20.20.4Out[16]=-Graphics-In[17]:=g[x_]:=2222x1-+(1+x)1+xIn[18]:=D[g[x],x]Out[18]=3232286(1)(1)xxxxIn[19]:=Solve[D[g[x],x]==0,x]Out[19]={{x0},{x-3},{x3}}In[20]:=InequalitySolve[D[g[x],x]=0,x]Out[20]=x-3||0x3In[21]:=FindMinimum[g[x],{x,2}]Out[21]={-0.125,{x-1.73205}}In[22]:=FindMinimum[g[x],{x,-2}]Out[22]={-0.125,{x--1.73205}}In[23]:=FindMinimum[-g[x],{x,-1}]Out[23]={-1.,{x--3.55325×10-14}In[24]:=Plot[g[x],{x,-6,6},PlotRange-{-0.3,1.2},AspectRatio-1/2,PlotPoint-500,PlotStyle-{RGBColor[1,0,0],Thickness-0.005}]-6-4-2246-0.20.20.40.60.81Out[24]=-Graphics-In[25]:=h[x_]:=323228x6x-(1+x)(1+x)In[26]:=Plot[h[x],{x,-8,8},PlotRange-{-1.6,1.6},AspectRatio-1,PlotPoint-500,PlotStyle-{RGBColor[1,0,0],Thickness-0.005}]-7.5-5-2.52.557.5-1.5-1-0.50.511.5Out[26]=-Graphics-