平稳随机过程的谱分析

1第三章平稳随机过程的谱分析2本章要解决的问题随机信号是否也可以应用频域分析方法?傅里叶变换能否应用于随机信号？相关函数与功率谱的关系功率谱的应用采样定理白噪声的定义33.1随机过程的谱分析一预备知识1付氏变换设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)满足•在范围内满足狄利赫利条件)(tx),(•绝对可积，即)(txdttx)(•信号的总能量有限，即)(txdttx2)(•有限个极值•有限个断点•断点处的值为有限值4则的傅里叶变换为：)(txdtetxXtjX)()(其反变换为：deXtxtjX)(21)(称为的频谱密度，也简称为频谱。)(tx)(XX包含：振幅谱相位谱52帕塞瓦等式由上面式子可以得到dtdeXtxdttxtjX)(21)()]([2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21dXdttxX22)(21)]([即6—非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数|XX(ω)|2表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称|XX(ω)|2为能量谱密度。2帕塞瓦等式dXdttxX22)(21)]([7二随机过程的功率谱密度随机信号持续时间无限长，对于非零的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。但是它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。TTTdttxTQ2)(21lim8二随机过程的功率谱密度应用截取函数TtTttxtxT0)()(9当T为有限值时，的傅里叶变换存在)(txTdtetxTXtjTX)(),(TTtjdtetx)(应用帕塞瓦等式dTXdttxXTT22),(21)(dTXTdttxTXTT22),(41)(21dTXTEdttxTEXTT22),(41)(21除以2T取集合平均随机变量10令T→∞，再取极限，交换求数学期望和积分的次序：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)dTTXEdttXETXTTTT2]),([lim21)]([21lim22功率Q)(XS非负存在dSdttXETQXTTT)(21)]([21lim2（1）Q为确定性值，不是随机变量。)(XS（2）为确定性实函数。注意：11两个结论：)]([2tXEAQ1.21lim.TAT表示时间平均若平稳)0()]([)]([22XRtXEtXEAQ＝dSQX)(212随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。显然，Q不是随机变量。12功率谱密度：描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布。称为随机过程X(t)的功率谱密度。)(XS)(XS对在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。)(XS对于平稳随机过程，有：dStXEX)(21)]([2TTXESXTX2]),([lim)(213例：设随机过程，其中皆是实常数，是服从上均匀分布的随机变量，求随机过程的平均功率。)cos()(0tatX0和a），（20)(tX)](cos[)]([0222taEtXE)]}22cos(1[2{02taEdtaa)22cos(2220202220022)22sin(22taa解：taa0222sin2不是宽平稳的)(tX14)]([2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT15三功率谱密度和复频率面js0jsjs)(sSX)(XS（只是记号相同，函数形式不同）9104)(242XS例：910)4()(242ssssSXjs)3)(3)(1)(1()2)(2(ssssss2-23-3-11j0163.2平稳随机过程功率谱密度的性质一功率谱密度的性质1功率谱密度为非负的,即0)(XS证明：TTXESXTX2]),([lim)(20),(2TXX0)(XS2功率谱密度是的实函数173对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即)()(XXSS证明：)(txT是实函数**)(),(dtetxTXtjTXdtetxtjT)(dtetxtjT)()(),(TXX),(),(),(*2TXTXTXXXX),(),(TXTXXX),(),(*TXTXXX2),(TXXTTXESXTX2]),([lim)(2)()(XXSS又184功率谱密度可积，即dSX)(证明：对于平稳随机过程，有：dStXEX)(21)]([2平稳随机过程的均方值有限dSX)(19二谱分解定理1谱分解在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近。这时可以表示为两个多项式之比，即)(XS)(XS20若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：)()()()()(21212NMXbsbsasasasS02222222022222220)()(dddcccSSNNNMMMXMNa≠b式中，s为复频率，s=σ+jω。aK、bL(K=1,2,…,2M;L=1,2,…,2N)分别表示SX(s)的零、极点。21根据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于SX(s)的零、极点的如下性质：（1）a2为实数。解释：因为其它零极点都共轭出现，余下的常数必为实数。（2）SX(s)的所有虚部不为0的零点和极点都成复共轭出现。解释：因为SX(ω)为实函数，两两共轭的积必为实函数。22（3）SX(s)的所有零、极点皆为偶重的。解释：因为SX(ω)为偶函数，所以无ω的奇次项，所以零、极点皆为偶重的。（4）M＜N。解释：因为SX(ω)可积，则ω→∞,SX(ω)→0，所以，NM。根据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于SX(s)的零、极点的如下性质：（5）SX(s)在实轴上无极点。解释：因为SX(ω)非负、实的偶函数。232谱分解定理根据上面的性质，可将分解成两项之积，即：)(ｓXS)()()(sSsSsSXXX)()()()()(11NMXssssasS)()()()()(**1**1NMXssssasS其中（零极点在s上半平面）（零极点在s下半平面）*)]([)(sSsSXX22)()()(sSsSsSXXX且谱分解定理jjXdssSjtXE)(21)]([2此时由(3.1.17)式，用s代替jω后得243SX()为有理函数时的均方值求法（1）利用)(XR)0()()]([02XXRRtXE（2）直接利用积分公式dStXEX)(21)]([2（3）查表法（4）留数法25留数定理设B(s)为复变量s的函数，且其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点s=pi则：niCdssBj1()(21内部极点的留数）曲线pssBps)]()[(pssBpsdsd)]()[(2一阶留数二阶留数26jjXdssSjtXE)(21)]([2上式积分路径是沿着jω轴，应用留数法时，要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分。根据留数定理，不难得出）左半平面内极点的留数()]([2tXE27例:考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度9104)(242XS)]([2tXE求过程的均方值解:用复频率的方法来求解。用代入上式得用复频率s表示得功率谱密度：js＝910)4()(242ssssSX28因式分解：)3)(1)(3)(1()2)(2()(sssssssSX2-23-3-11j0SX(s)在左半平面内有两个极点：-1和-3。于是可以分别计算这两个极点的留数为：163)3)(1)(3()2)(2(11ssssssK485)3)(1)(1()2)(2(33ssssssK247485163)]([2tXE故：29查表法：当用复频率s=j来表示功率谱密度时，可以SX(s)表示成如下形式)()()()()(sdsdscscsSX01102211)()(dsdsdsdcscscscnnnnnnnnc(s)和d(s)都是s的多项式满足:(1)d(s)的阶次高于c(s)的阶次;(2)d(s)每项系数都不为零。题中c(s)=s+2，d(s)=(s+1)(s+2)=s2+4s+3。利用积分表21022002122ddddcdcI将c0=2，c1=1，d0=3，d1=4，d2=1代入上式得I2=（3+4）/（2*3*4*1）=7/24于是求得方程的均方值E[x2(t)]=7/2430313.3功率谱密度与自相关函数之间的关系确定信号：)()(jXtx随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。1维纳—辛钦定理若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：32deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(2.证明：TTXESXTX2]),([lim)(2)],(),([21lim*TXTXETXXTTT21lim])()([221121TTtjTTtjdtetXdtetXETTTTttjTdtdtetxtxET21)12(21)]()([21limTTTTttjXTdtdtettRT21)12(12)(21lim33设12tt1tu则ut2ut1所以：11101),(),(21uttJt1t2-TT2TTu-2T/2Tu/2Tu/2Tu/2Tu-T34})(022/2/dudeRjXTTT})(21{lim222/2/dudeRTjXTTTTTdeRTTjXTTT)()2(21lim22deRTjXTTT)()21(lim22deRjX)(deRTjXTTT)(2lim22T02T(注意，。通常情况下，第二项为0)deRjX)(dudeRTSjXTTT