第七章-平稳过程的谱分析

1第七章平稳过程的谱分析谱密度及其性质留数定理在谱分析中的应用白噪声随机过程通过线性系统窄带过程2平稳过程的相关函数在时域上描述了过程的统计特性，为了描述平稳过程在频域上的统计特性,需要引入了谱密度的概念。这章的内容主要讨论随机过程的谱分析3知识回顾：22dtdt设x(t)是时间t的非周期实函数，则x(t)存在傅立叶变换的充要条件是：（1）x(t)在-，+满足狄利赫利条件；（）x(t)绝对可积,即x(t)（3）若x(t)代表信号，则总能量有限,即x(t对于确定信号的傅立叶变回)换的顾：4()()1()()2iwtiwtwxtedtxtwedwxx此时，x(t)的傅立叶变换为：F傅立叶反变换为：F5证明:非周期性确定性时间函数的帕塞瓦（Parseval)等式为:221()()2xxtdtFwdw61功率谱密度的定义(),():(),()0,TTxtxtxttTxttT对能量无限的信号函数作截尾函数2221()()(,)2TTxTxtdtxtdtFwTdw其帕塞伐公式为：实际应用中，大多数时间函数能量无限，不满足傅氏变换条件（绝对可积），讨论总功率无意义，故引进平均功率及功率密度。()(,)TxxtFwT的傅立叶变换为；7222:11lim()lim(,)2411lim(,)22TxTTTxTxtdtFwTdwTTFwTdwT进一步，对时间进行平均21lim(,)2xTFTT称为功率谱密度8222()():(),()0,(,)()1()()(,)2TTXTTTXTXtXtXttTXttTFwTXtXtdtXtdtFwTdw设是均方连续的随机过程，作截尾随机过程为的傅立叶变换，由帕塞伐公式以得到9222111[()][(,)]2221[(,)]2limlim1lim2TXTTTXTTEXtdtEFwTdwTTEFwTdwT对上式两边先取时间平均，再取统计平均得到：10设{X(t),-t}为均方连续的随定义7.1：机过程，称221[()]()2XEXtSwdw对于平稳随机过程，平均功率等于该过程的均方值,等于它的谱密度在频域上的积分。即：21()[(,)]2limXXTSwEFwTT为X(t)的，简称功率谱密度谱密度。221[()]2limTTTEXtdtT为X(t)的平均功率；112功率谱密度与自相关函数的关系可以证明：均方连续的平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间互为傅立叶变换对。这一个关系就是著名的维纳-辛钦定理。即：()()1()()2iwtXXiwtXXSwRedRSwedw123功率谱密度的性质：1()wwx.S是的实的、非负偶函数。2.()wdwx-可积性，即S22222202222202223.(),:(),,0,,nnnnmmmnimjnwwawawawwbwbabamnxx当S是的有理函数时其形式必为　S其中为常数分母无实根．13当X(t)为实平稳过程时0012XXXXS(w)R()cos(w)dR()S()cos(w)d2211()[(,)][]22limlim+T-iwtXX-TTTSwEFwTEX(t)edtTT功率谱0000002+T-iwt0TXX1EX(t)edtwG(w)Tw2S(w)ww2lim定义：单边功率谱1400(-aXRecoswa0w例题7.2：平稳随机过程的相关函数为()=),其中,为常数．求功率谱密度。15方法1:利用常用的傅立叶变换对24242(),109XwS例题：平稳随机过程谱密度求平稳随机过程的相关函数和均方值。方法2:留数定理的利用164白噪声0{(),}()(),()XttwNwXtX定义：设为实平稳随机过程，若它的均值为0，且谱密度在所有频率范围内为非0的常数，即S则为白噪声过程。17函数:具有下列性质的函数称为函数0,x0(1)（x)=,x0(2)（x)dx=1:函数的性质--(1)f(x)f(x)（x)dx=f(0)（x-T)dx=f(T)18(2)()()(),1,0(),0,0()()tdututtuttduttdt其中为单位阶跃函数即反之有0000(3)()()11()1()1212()()2()iwtiwtiwtiwtFwtedttedwtwtteeww函数的傅氏变换故同理1900(XRacoswaw例题7.8：平稳随机过程的相关函数为()=),其中,为常数．求功率谱密度。20白噪声自相关函数0011()()()22jwjwXXRSwedwNedwN))1212这表明：白噪声随时间的变化极快，在任意两个时刻t和t，X(t和X(t不相关。(1)白噪声是一种理想化的数学模型。(2)白噪声可以具有不同的概率分布,例如正态白噪声,瑞利分布律的白噪声等等。215平稳过程通过线性系统的分析线性时不变系统频率响应与脉冲响应线性系统的统计特性分析（均值和相关函数）线性系统的谱密度22线性时不变系统系统：对各种输入按一定的要求产生输出的装置。x(t)y(t)L如放大器，滤波器；波浪造成的轮船震动等。设系统的输入为x(t)，系统的作用为L，输出为y(t)，则有y(t)=L[x(t)]其中，“L”称为算子，可以是加法、乘法、微分、积分和微分方程求解等数学运算。23线性时不变系统对一个系统，若算子是线性的则称该系统是线性的。,1122121212Ly(t)=L[x(t)],y(t)=L[x(t)]abL[ax(t)+bx(t)]=aL[x(t)]+bL[x(t)]=ay(t)+by(t).定义:称算子为，如果它满足以下条件:若则对任意常数、有：　　　线性算子()2dx(t)ddy(t)=xtLdtdtdty(t)=[x(t)]L２例１：=算子＝是线性算子。例２：算子＝［］不是线性算子。24线性时不变系统Ly(t)Lx(t)y(t+)x(t+)定义：若系统有=[]，并对任一时间平移都有：　　　　　　　　　=L[]，　　　　称该系统为时变统。如果系统是线性的，则该　　　　系统称为线性时不变系统。不系dLdt例３：微分算子=是线性时不变的。()tLdu－例４：积分算子=是线性时不变的。25线性时不变系统（结论）系统的线性，表现为系统的叠加性和比例性L[kx(t)=kL[x(t)]），更通用的表征为：111()[()][()]()nnnhhhhhhhhhytLaxtaLxtayt11101011......,nnmmnnmmnnmmdydydxdxbbbyaaaxdtdtdtdtnm,-t+其中.工程中，常用到的是输入和输出可用下列线性微分方程来描述的系统：系统的时不变性，表现为输入和输出的依赖关系不随时间的推移而变化。26频率响应和脉冲响应由线性信号的叠加性和比例性，可把输入信号看成许多单元信号所组成，而输出信号就是由各个单元信号分别通过线性系统后的总和．常常将输入信号分裂成单元脉冲信号和单元正弦信号。单元脉冲信号：冲击响应法，从时域分析系统；单元正弦信号：频率响应法，从频域分析系统27频率响应和脉冲响应意义：对线性时不变系统输入一谐波信号时，其输出也是同频率的谐波，只不过振幅和相位有所变化。H(w)表示了这个变化，称为系统的频率响应函数。0,.iwtiwtiwtiwttxey(t)=L[e]=H(w)eH(w)L[e].定理：设Ｌ为线性时不变系统，若输入一谐波信号(t)=　　　则输出为　　　　　　其中　＝()iwH(w)H(w)=A(w)eA(w)H(w)如果将表示为，则=称为系统的振幅特性，()称为系统的相位特性。频率响应函数：dL=dt例5：求的频率响应函数。28频率响应和脉冲响应脉冲响应函数：-x(t)=x()(t-)d.根据函数的性质，可得：　　　　　()[()]()()(1)().---ytLxtLytLx()(t-)dx()L(t-)dx()htdhtL(t-)由于中的只对时间函数进行运算，将上式代入得：　其中()()()()()(2)(2)()-xttyt()htdhtht当输入函数为脉冲函数时，　　　　　式表明是输入脉冲时的输出，故称其为系统的脉冲响应。29频率响应和脉冲响应对(1)式作一些变换，可得：上面两式从时域描述了系统输入和输出间的关系，表明线性时不变系统的输出等于输入和脉冲响应的卷积，即,()()()()utu--ytx()htdytx(t)hd()()().ythtxt2()6()()tuytxuedu例：求系统的脉冲响应。30频率响应和脉冲响应脉冲响应的傅氏变换：()()()()()()()1()()2itiththtdthtHhtedthtHhtHed如果线性时不变系统的冲击响应函数绝对可积，即　　　则系统的频率响应函数是冲击响应函数的傅氏变换，即　　　　而是的傅氏反变换，即　　　31频率响应和脉冲响应输入x(t)和输出y(t)的傅氏变换：()()1()()()()21()()()()2ititititxtytXxtedtxtXedYytedtytYed如果和都满足傅氏变换条件，则有下列傅氏变换对：　　　，　　　，　()00.()()()()ithttytx(t)hdHhtedt00　　　　　　　　当相应地有　　　　　输入频谱X(w)和输出频谱Y(w)有下列关系：Y(w)=H(w)X(w).它从频域角度给出了系统输入和输出的关系。对于物理可实现系统，冲击响应函数应满足以下条件：32线性系统输出的均值和相关函数当线性系统的输入为确定信号时，常用微分方程来描述输入和输出的关系，用x(t)和y(t)来表示。当线性系统的输入为随机信号时，可用随机过程X(t)和Y(t)来表示。x(t)和y(t)则用来表示随机过程的任一样本函数。对随机信号，常用信号的统计特性：均值和相关函数来描述其输入和输出特性及二者的关系。对线性系统的输出，有以下方法来研究其统计特性：随机微分方程法：内容丰富但复杂。冲击响应法和频谱法33线性系统输出的均值和相关函数设X(t)和Y(t)为均方连续平稳过程，x(t)是X(t)的任一样本函数，有()()()--ytx()htdx(t)hd，()()()--YtX()htdX(t)hd可以证明，当输入过程X(t)为均方连续平稳过程时，其输出也是平稳过程。34线性系统输出的均值和相关函数12()()()()()(,)()()()xx-yxYXX(t)mRYtX()htdmtmhuduRtthuhvRuvdud定理：设输入平稳过程的均值，相关函数为，则输出过程的均值和相关函数分别为：常数；12(),().YvRtt35121212121()()()[]()()(,):1(,)(,