连续域离散化设计讲解

15.1连续域—离散化设计5.2数字PID控制器设计5.3控制系统z平面设计性能指标要求5.4z平面根轨迹设计5.5w’变换及频率域设计25.1.1设计原理和步骤•实质是将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输出都是模拟量，因而可等效为连续传递函数De(s)。A/D输出与输入关系：*1()()snRjRjjnT1*()()RjRjT系统低通且采样频率较高1*()/()RjRjTD/A的频率特性：/2/2sin(/2)()ee/2jTjTTGjTTT等效连续传递函数/2/21()(e)e(e)ejTjTjTjTeDjDTDT计算机实现算法D(z)的计算表示：(e)jTD/2edc()()esTDsDs设计时常近似为：/21e1/2sTsT图5-1计算机控制系统典型组成3连续域-离散化设计的步骤如下：第1步：根据系统的性能，选择采样频率，并设计抗混叠前置滤波器。第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据系统的性能指标和连续域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数Ddc(s)。第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。改进设计的途径有：–选择更合适的离散化方法。–提高采样频率。–修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。45.1.2各种离散化方法•最常用的表征控制器特性的主要指标：–零极点个数；–系统的频带；–稳态增益；–相位及增益裕度；–阶跃响应或脉冲响应形状；–频率响应特性。等效离散D(z)D(s)•数值积分法一阶向后差法一阶向前差法双线性变换法及修正双线性变换法•零极点匹配法•保持器等价法•z变换法(脉冲响应不变法)离散化方法51.一阶向后差分法(1)离散化公式11()()zsTDzDs实质：将连续域中的微分用一阶向后差分替换()()/()1/DsUsEss()/()dutdtet()/[()[(1)]]/dutdtukTukTT()[(1)]()ukTukTTekT1()()()UzzUzTEz1()()/()/(1)DzUzEzTz1(1)/szT11zsT做z变换，得s与z之间的变换关系比较图5-3向后差分(矩形积分)法61.一阶向后差分法(2)主要特性①s平面与z平面映射关系–当=0（s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的圆周。–当0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。–当0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定③变换前后，稳态增益不变。④离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有相当大的畸变。111(1)122(1)TszTsTssj2222211(1)()24(1)()TTzTT图5-4向后差分法的映射关系01()()szDsDz(3)应用由于这种变换的映射关系畸变严重，变换精度较低。所以，工程应用受到限制，用得较少。72.一阶向前差分法(1)离散化公式实质：将连续域中的微分用一阶向前差分替换()()/()1/DsUsEss()/()dutdtet做z变换，得s与z之间的变换关系比较图5-7向前差分矩形积分法1()()zsTDzDs()/{[(1)]()}/dutdtukTukTT()(1)()/EzzUzT()()/()/(1)DzUzEzTz1111zzsTTz1zTs82.一阶向前差分法(2)主要特性①s平面与z平面映射关系②若D(s)稳定，则D(z)不一定稳定[改进方法是适当减少采样周期T]。向前差分法的映射关系图(3)应用由于这种变换的映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。1zTs平移放大关系oj[S]o[Z]ReIm1o-1/T1zsT93.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）(1)离散化公式实质：将梯形面积近似代替积分()()/()1/DsUsEss进行z变换，得s与z之间的变换关系比较图5-9梯形积分法211()()zsTzDzDs()(1)[()(1)]2Tukukekek0()()dtutett11()()[()()]2TUzzUzEzzEz11(1)()12()2(1)()1(1)TzUzDzzEzzTz2(1)(1)zsTz1212TszTs101122211222TTTjszTTTsj3.双线性变换法(2)主要特性①s平面与z平面映射关系–当=0（s平面虚轴)映射为z平面的单位圆周。–当0（s右半平面），映射到z平面单位圆外。–当0（s左半平面），映射到z平面单位圆内。②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定sj图5-10双线性变换映射关系22222122122TTzTT2(1)(1)zsTz/2/2/2/221e2ee1eeeDDDDDjTjTjTAjDTjTjTjTT2sin(/2)22tan2cos(/2)2DDDjTTjTTT2tan2DATTs域角频率z域角频率为D113.双线性变换法(2)主要特性③频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。图5-11双线性变换的频率关系2tan2DATT图5-12双线性变换的频率关系22DADTT当采样频率较高DT足够小123.双线性变换法(2)主要特性④变换前后，稳态增益不变。⑤双线性变换后D(z)的阶次不变，且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：01()()szDsDz(3)应用①这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍。②这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。2(e)0sjTD134.修正双线性变换(1)离散化方法解决“双线性变换产生频率轴非线性畸变”问题的方法。111tan(/2)1()()zsTzDzDs1是设计者选定的特征角频率依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系，首先修正原连续域传递函数，然后再进行双线性变换的结果。(2)主要特性–该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特性。但由于采用了频率预修正，故可以保证在处连续频率特性与离散后频率特性相等，即满足(3)应用–由于该方法的上述特性，所以主要用于原连续控制器在某些特征频率处要求离散后频率特性保持不变的场合。11(e)(j)jTDD145.零极点匹配法(1)离散化方法特点：–零、极点分别按匹配–若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加(z+1)n-m因子–确定D(z)的增益k1的方法：•按右式来匹配•若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即•也可选择某关键频率处的幅频相等，即1()(e)()e()(1)()(e)iizTisTnmmmpTinmkszkzDszDzzspzesTz01()()szDsDz1()()szDsDz11(j)(e)jTDD155.零极点匹配法(2)主要特性①零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。②由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s)稳定，D(z)一定稳定。③当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有(z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频率混叠。166.其他离散方法(1)z变换法（脉冲响应不变法）(2)带保持器的z变换①带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）②一阶保持器z变换法（斜坡响应不变法）这种方法可以保证连续与离散环节脉冲响应相同，但由于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及产生频率混叠和其他特性变化较大，所以应用较少。1e()()sTDzZDss注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同，但要进行z变换，同样具有z变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。由于和零阶保持器z变换法类似的原因，这种方法应用得较少。()()DzZDs175.1连续域—离散化设计5.2数字PID控制器设计5.3控制系统z平面设计性能指标要求5.4z平面根轨迹设计5.5w’变换及频率域设计185.2数字PID控制器设计•根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进行控制(简称PID控制)，是控制系统中应用最为广泛的一种控制规律。•优点：–原理简单–通用性强195.2.1数字PID基本算法1．模拟PID控制算法的离散化模拟PID控制器的基本规律：01()[()()()/]tpDIutKetetdtTdetdtT()1()1()pDIUsDsKTsEsTs离散化kT均用k简化表示(0,1,2,)tkTk()()etekT00()()()kkjjetdtejTTTejTde(t)()[(1)]dekTekTtT0(){()()[()(1)]}kDpjITTukKekejekekTT0()()[()(1)]kpIDjKekKejKekek202．PID的增量式算法10(1)(1)()[(1)(2)]kpIDjukKekKejKekek()()(1)ukukuk仅对应执行机构（如阀门）位置的改变量[()(1)]()[()2(1)(2)]PIDKekekKekKekekek算法优点：（1）较为安全。因为一旦计算机出现故障，输出控制指令为零时，执行机构的位置（如阀门的开度）仍可保持前一步的位置，不会给被控对象带来较大的扰动。（2）计算时不需进行累加，仅需最近几次误差的采样值。主要问题：执行机构的实际位置也就是控制指令全量的累加需要用计算机外的其他的硬件(如步进电机)实现。21图5-21PID计算机控制系统225.2.2数字PID控制算法改进1.抗积分饱和算法(1)积分饱和的原因及影响–因长时间出现偏差或偏差较大，计算出的控制量有很大，超出D/A转换器所能表示的数值范围。这时的执行机构已到极限位置，仍不能消除偏差，且由于积分作用，尽管计算PID差分方程式所得的运算结果继续增大或减小，但执行机构已无相应的动作，这就称为积分饱和。–当控制量达到饱和后，闭环控制系统相当于被断开。23小信号控制下，积分器没有饱和的响应曲线。控制饱和值不变，但系统给定值加大，使控制作用出现饱和时的仿真曲线在同样给定值时，控制作用没有饱和限制时的仿真曲线。241.抗积分饱和算法(2)积分饱和抑制①积分分离法：–系统加入积分控制的主要作用——提高稳态精度，减少或消除误差。–积分分离法的基本控制思想：0()()()[()(1)]kPIDjukKekKejKekek•某个规定的门限值;•当e(k)，=0（即取消积分）；•当误差e(k)=，=1（即引入积分）无积分分离的响应曲线有积分分离的响应曲线图5-23积分分离法25(2)积分饱和抑制②遇限削弱积分法：–基本思想：•当控制量进入饱和区后，只执行削弱积分项的累加，不进行增大积分项的累加。即系统在计算u(k)时，先判断u(k-1)是否超过门限值。若超过某个方向门限值时，积分只累加反方向的e(k)值。具体算式为：max(1)uku()0e