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第十六章保角变换法求解定解问题在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题．尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解决．对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保角变换法求解．保角变换法解定解问题的基本思想是：通过解析函数的变换（或映射，这部分知识在复变函数论中已经学习过）将平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换就求得了原始定解问题的解．这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解问题中的解析法――保角变换法，它是解决这类复杂边界的最有效方法．它特别适合于分析平面场的问题，例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内容进行介绍．复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。16.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系在复变函数论中我们已经知道，由解析函数实现的从z平面到平面的变换在的点具有保角性质，因此这种变换称为保角变换．下面我们主要讨论一一对应的保角变换，即假定和它的反函数都是单值函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一叶．定律16.1.1如果将由到的保角变换看成为二元（实变）函数的变换由到的变量代换，则平面上的边界变成了平面上的边界．我们能证明，如果程，则经过保角变换后得到的满足拉普拉斯方也满足拉普拉斯方程．【证明】利用复合函数求导法则有(16.1.1)同理(16.1.2)两式相加得到（16.1.3）利用解析函数的C-R条件(16.1.4)以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质(16.1.5)将式（16.1.4）和式（16.1.5）代入到式（16.1.3）化简后得到注意到上式已经使用了：对于保角变换因而只要满足拉普拉斯方程，则）也满足拉普拉斯方程，即为（16.1.6）这样我们就有结论：如果在平面上给定了的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换，可以将它转化为平面上的拉普拉斯方程边值问题．同理可以证明，在单叶解析函数变换下，泊松方程(16.1.7a)仍然变为泊松方程（16.1.7b）由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度发生了变化．同理可以证明，亥姆霍兹方程(16.1.8a)经变换后仍然变为亥姆霍兹方程(16.1.8b)容易注意到方程要比原先复杂，且前的系数可能不是常系数．下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程．保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．16.2保角变换法求解定解问题典型实例例16.2.1设有半无限平板，在边界=0上，处保持温度处保持温度=0．求平板上的稳定温度分布．【解】根据题意可得出定解问题（16.2.1）作如下的保角变换．（1）作分式线性变换(16.2.2)可以验证，考虑实轴的对应关系：图16.1(i)若，则，故，即有(ii)若则或（a）首先讨论的情况,考虑到题给条件则故（b）再考虑的情况,则故如图16.1所示，根据(16.2.1)式中的边界条件，对应于处温度为，故平面的负实轴（即）温度保持为；而在处有，故平面的正实轴温度保持为零．（2）作变换(16.2.3)把平面的上半平面变成平面上平行于实轴，宽为的一个带形区域，平面的正实轴变换为平面的实轴（正实轴辐角为零，故对应于），平面的负实轴变换为平面的平行于实轴的直线,故对应于）．（负实轴辐角为于是，在变换(16.2.4)之下，定解问题变换为(16.2.5)在这种情况下，等温线是与实轴平行的直线=常数，热流线则是与虚轴平行的直线=常数．在(,)坐标系中，由对称性知拉普拉斯方程的解与无关，因此，定解问题又简化为（16.2.6）方程的解是考虑边界条件即得到（16.2.7）回到平面，则例16.2.2试求平面静电场的电势分布，其中（16.2.8）(16.2.9)【解】变换使上半平面变成平面上的带形域（图16.2）,然的，类似于上面定解问题(16.2.6)的结果(16.2.7),则本定解问题可归结为而在带形域上的解是显(16.2.10)图１６．２而所以于是，作反变换便可求得所求问题的解为进一步讨论：（1）同理可证是下列定解问题的解（说明：这里的和下面的不代表求导，是指彼此不同的值）(2)同理可证是下列定解问题的解(3)可证是下列定解问题的解：其中又可改写成（4）进一步推广是下列定解问题的解例16.2.3若把柱面充电到试用保角变换法求解一半径为的无限长导体圆柱壳内的电场分布情况．【解】即求解定解问题作如下的保角变换(1)作变换把原图象缩小为倍．即将任意的圆周变换为单位圆．(2)再作变换把变换为，其边界的变换是将下半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴．图１６．３（3）再作变换把平面的上半平面变成平面上平行于实轴，宽为的一个带形区域，其边界的变换是将平面的正半实轴变换为平面的实轴，平面的负半实轴变换为平面的平行于实轴的直线，如图16.3所以，在变换之下，定解问题变换为定解问题的解（仿上例16.2.1）为将变量回到平面，则化成极坐标形式，则上式又改写成从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界所围成的区域变换成上半平面的带形域问题就容易解决了．