时间序列分析方法 第06章 谱分析

时间序列分析方法讲义第6章谱分析1第六章谱分析SpectralAnalysis到目前为止，t时刻变量tY的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：0jjtjtY我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t和上的变量tY和Y的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为在时间域(timedomain)上分析时间序列}{tY的性质。在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t和)sin(t的周期函数的加权组合来描述时间序列tY数值的方法，这里表示特定的频率，表示形式为：dtdtYt)sin()()cos()(00上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列}{tY性质时所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequencydomainanalysis)或者谱分析(spectralanalysis)。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。§6.1母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。6.1.1母体谱及性质假设}{tY是一个具有均值的协方差平稳过程，第j个自协方差为：)])([(),cov(jttjttjYYEYY假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：jjjYzzg)(这里z表示复变量。将上述函数除以2，并将复数z表示成为指数虚数形式)exp(iz，1i，则得到的结果(表达式)称为变量Y的母体谱：jjijiYYeegs21)(21)(注意到谱是的函数：给定任何特定的值和自协方差j的序列}{j，原则上都可以计算)(Ys的数值。利用DeMoivre定理，我们可以将jie表示成为：)sin()cos(jijeji因此，谱函数可以等价地表示成为：jjYjijs)]sin()[cos(21)(注意到对于协方差平稳过程而言，有：jj，因此上述谱函数化简为：10)]sin()sin()cos()[cos(21)]0sin()0[cos(21)(jjYjijijjis时间序列分析方法讲义第6章谱分析2利用三角函数的奇偶性，可以得到：10)cos(221)(jjYjs假设自协方差序列}{j是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(Ys存在，并且是的实值、对称、连续函数。由于对任意k2，有：)()2(YYsks，因此)(Ys是周期函数，如果我们知道了],0[内的所有)(Ys的值，我们可以获得任意时的)(Ys值。§6.2不同过程下母体谱的计算假设随机过程}{tY服从)(MA过程：ttLY)(这里：0)(jjjLL，0||jj，tstsEst,0,)(2根据前面关于)(MA过程自协方差生成函数的推导：)()()(12zzzgY因此得到)(MA过程的母体谱为：)()(21)(2iiYees例如，对白噪声过程而言，1)(z，这时它的母体谱函数是常数：2)(2Ys下面我们考虑)1(MA过程，1tttY此时：zz1)(，则母体谱为：)1(21)1)(1(21)(222iiiiYeeees可以化简成为：221()[12cos()]2Ys显然，当0时，谱函数)(Ys在],0[内是的单调递减函数；当0时，谱函数)(Ys在],0[内是的单调递增函数。对)1(AR过程而言，有：tttYcY1这时只要1||，则有：)1/(1)(zz，因此谱函数为：)]cos(21[21)1(21)1)(1(21)(22222iiiiYeeees该谱函数的性质为：当0时，谱函数)(Ys在],0[内是的单调递增函数；当0时间序列分析方法讲义第6章谱分析3时，谱函数)(Ys在],0[内是的单调递减函数。一般地，对),(qpARMA过程而言：qtqtttptptttYYYcY22112211则母体谱函数为：)1()1()1()1(2)(2212212212212ippiiiqqiiippiiiqqiiYeeeeeeeeeeees如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解：)1()1)(1(121221zzzzzzqqq)1()1)(1(121221zzzzzzppp则母体谱函数可以表示为：pjjjqjjjYs12122)]cos(21[)]cos(21[2)(从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列}{j，原则上我们就可以计算出任意的谱函数)(Ys的数值。反过来也是对的：如果对所有在],0[内的，已知谱函数)(Ys的数值，则对任意给定的整数k，我们也能够计算k阶自协方差k。这意味着母体谱函数)(Ys和自协方差序列}{j包含着相同的信息。其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出的推断。下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式：命题6.1假设}{j是绝对可加的自协方差序列，则母体谱函数与自协方差之间的关系为：deskiYk)(上述公式也可以等价地表示为：dksYk)cos()(利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。解释母体谱函数假设0k，则利用命题6.1可以得到时间序列的方差，即0，计算公式为：dsY)(0根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间],[内的面积就是0，也就是过程的方差。更一般的，由于谱函数)(Ys是非负的，对任意],0[1，如果我们能够计算：dsY11)(时间序列分析方法讲义第6章谱分析4这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为tY的方差中与频率的绝对值小于1的成分相关的部分。注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为：dsdsYY1110)(2)(这个积分表示频率小于1的随机成分对tY方差的贡献。但是，频率小于1的随机成分对tY方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们考虑更为特殊一些的时间序列模型：MjjjjjtttY1)]sin()cos([这里j和j是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t，有0tEY。进一步假设序列Mjj1}{和Mjj1}{是序列不相关和相互不相关的：kjkjEjkj,0,)(2，kjkjEjkj,0,)(20)(kjE，对所有的j和k这时tY的方差是：MjjMjMjjjjjjjjttttEtEYE121122222222)(sin)(cos)(sin)()(cos)()(因此，对这个过程来说，具有频率j的周期成分对tY的方差的贡献部分是2j。如果频率是有顺序的：M210，则tY的方差中由频率小于或者等于j的周期形成的部分是：22221j。这种情形下tY的k阶自协方差为：MjjjMjjjjjjMjjjjjjjkttkkttkttkttEkttEYYE1212122)cos()]}(sin[)sin()](cos[){cos()]}(sin[)sin()()](cos[)cos()({)(因为过程}{tY的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是协方差平稳过程。但是，可以验证此时的自协方差序列0}{kk不是绝对可加的。虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对于一般的情形，著名的谱表示定理(thespectralrepresentationtheorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。对任意给定的固定频率],0[，我们定义随机变量)(和)(，并假设可以将一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：0)]sin()()cos()([dttYt这里需要对随机变量)(和)(的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是谱时间序列分析方法讲义第6章谱分析5表示定理的一般形式。§6.2样本周期图SamplePeriodogram对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程}{tY，我们已经定义在频率处的谱函数值为：jjijiYYeegs21)(21)(，)])([(jttjYYE注意到母体谱是利用0}{jj表示的，而0}{jj表示的是母体的二阶矩性质。给定由Tyyy,,,21表示的T个样本，我们可以利用下述公式计算直到)1(T阶的样本自协方差：1,,2,1,ˆ1,,1,0,))(()(ˆ11TjTjyyyyjTjTjtjttj，TttyTy11对于给定的，我们可以获得母体谱密度对应的样本情形，我们称其为样本周期图：11ˆ21)(ˆTTjjijYes样本周期图也可以表示成为如下形式：1011ˆˆˆ()[2cos()]2TYjjsj类似地，我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差：dsY)(ˆˆ0样本周期图也是关于原点对称的，因此也有：dsY00)(ˆ2ˆ更为重要的是，谱表示定理在样本情形也有类似的表示。我们将要说明，对于平稳过程的任意一个容量为T的观测值序列Tyyy,,,21，存在频率M,,,21和系数ˆ，Mˆ,,ˆ,ˆ21，Mˆ,,ˆ,ˆ21使得t期的y值可以表示成为：Mjjjjjttty1)]}1(sin[ˆ)]1(cos[ˆ{ˆ其中：当kj时，)]1(cos[ˆtjj与)]1(cos[ˆtkk不相关；当kj时，)]1(sin[ˆtjj与)]1(sin[ˆtkk不相关；对于所有的j和k，)]1(cos[ˆtjj与)]1(sin[ˆtkk不相关。y的样本方差是TttyyT121)(，该方差中可以归因于频率为j的周期成分的部分由样本周期图)(jYs给出。我们对样本容量是奇数的情形展开讨论上述谱表示模式。这时ty可以表示成为由2/)1(TM个不同频率构成的周期函数，频率M,,,21如下：T21，T42，……，TMM2因此最高频率为：时间序列分析方法讲义第6章谱分析6TTTMM2)1(22我们考虑ty基于常数项、正弦函数和余弦函数的线性回归：tMjjjjjtutty1)]}1(sin[)]1(cos[{将这个回归方程表示成为下述方式：ttuytxβ其中：11{1,cos[(1)],sin[(1)],,c