时间序列分解法和趋势外推法

4时间序列分解法和趋势外推法4.1时间序列分解法4.2趋势外推法概述4.3多项式曲线趋势外推法4.4指数曲线趋势外推法4.5生长曲线趋势外推法4.6曲线拟合优度分析回总目录4.1时间序列分解法一、时间序列的分解经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动这四个因素的影响。其中：（1）长期趋势因素（T）反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。回总目录回本章目录（2）季节变动因素（S）是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。（3）周期变动因素（C）周期变动因素也称循环变动因素，它是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。（4）不规则变动因素（I）不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然因素影响所形成的不规则变动。回总目录回本章目录二、时间序列分解模型时间序列y可以表示为以上四个因素的函数，即：时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。(,,,)tttttyfTSCI回总目录回本章目录加法模型为：乘法模型为：tttttyTSCItttttyTSCI回总目录回本章目录三、时间序列的分解方法（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出季节指数S。（2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T。回总目录回本章目录（3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期变动因素C。（4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即：YITSCy回总目录回本章目录4.2趋势外推法概述一、趋势外推法概念和假定条件趋势外推法概念：当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。回总目录回本章目录趋势外推法的两个假定：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化不大。回总目录回本章目录二、趋势模型的种类多项式曲线外推模型：一次（线性）预测模型：二次（二次抛物线）预测模型：三次（三次抛物线）预测模型：一般形式：01ˆtybbt2012ˆtybbtbt230123ˆtybbtbtbt2012ˆktkybbtbtbt回总目录回本章目录指数曲线预测模型：一般形式：修正的指数曲线预测模型：ˆbttyaeˆttyabc回总目录回本章目录对数曲线预测模型：生长曲线趋势外推法：皮尔曲线预测模型：龚珀兹曲线预测模型：ˆlntyabt1tbtLyaeˆtbtyka回总目录回本章目录三、趋势模型的选择图形识别法：这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。回总目录回本章目录差分法：利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。一阶向后差分可以表示为：二阶向后差分可以表示为：1tttyyy1122ttttttyyyyyy回总目录回本章目录差分法识别标准：差分特性使用模型一阶差分相等或大致相等一次线性模型二阶差分相等或大致相等二次线性模型三阶差分相等或大致相等三次线性模型一阶差分比率相等或大致相等指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型回总目录回本章目录4.3多项式曲线趋势外推法一、二次多项式曲线模型及其应用二次多项式曲线预测模型为：2012ˆtybbtbt回总目录回本章目录设有一组统计数据，，…，，令即：解这个三元一次方程就可求得参数。1y2yny22201201211ˆ(,,)()()nntttttQbbbyyybbtbt最小值4231202322102210tbtbtbyttbtbtbtytbtbnby回总目录回本章目录例题•例1下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额。回总目录回本章目录年份时序（t）总额（yt）年份时序（t）总额（yt）年份时序（t）总额（yt）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7回总目录回本章目录（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为y轴，年份为x轴。回总目录回本章目录（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将分别对该两种模型进行参数拟合。适用的二次曲线模型为：适用的指数曲线模型为：2012ˆtybbtbtˆbttyae回总目录回本章目录（3）进行二次曲线拟合。首先产生序列，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型为：其中调整的，，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。2t2ˆ577.2444.333.29tytt20.9524R0.05290(2,29)FF回总目录回本章目录(4)进行指数曲线模型拟合。对模型：两边取对数：产生序列，之后进行普通最小二乘估计该模型。最终得到估计模型为：ˆbttyaeˆlnlntyabtlntyˆlnln303.690.0627tyt0.0627ˆ303.69ttye回总目录回本章目录其中调整的，，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37。（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程：进行预测将会取得较好的效果。20.9547R0.05632.6(1,30)FF2ˆ577.2444.333.29tytt回总目录回本章目录二、三次多项式曲线预测模型及其应用三次多项式曲线预测模型为：230123ˆtybbtbtbt回总目录回本章目录设有一组统计数据，，…，，令即：解这个四元一次方程就可求得参数。1y2yny22320123012311ˆ(,,,)()()nntttttQbbbbyyybbtbtbt最小值6352413035342312024332210332210tbtbtbtbyttbtbtbtbyttbtbtbtbtytbtbtbnby回总目录回本章目录4.4指数曲线趋势外推法一、指数曲线模型及其应用指数曲线预测模型为：0)(ˆaaeybtt回总目录回本章目录对函数模型做线性变换得：令，则这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。ˆbttyaelnlntyabtln,lnttYyAatYAbt回总目录回本章目录二、修正指数曲线模型及其应用修正指数曲线预测模型为：)10(ˆ2cbcayt回总目录回本章目录4.5生长曲线趋势外推法一、龚珀兹曲线模型及其应用龚珀兹曲线预测模型为：ˆtbtyka回总目录回本章目录对函数模型做线性变换得：龚珀兹曲线对应于不同的lga与b的不同取值范围而具有间断点。曲线形式如下图所示。lglglgtykbaˆtbtyka回总目录回本章目录(1)lga00b1(2)lga0b1(3)lga00b1(4)lga0b1kkkk回总目录回本章目录(1)lga00b1k渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求已逐渐接近饱和状态。回总目录回本章目录(2)lga0b1k渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求已由饱和状态开始下降。回总目录回本章目录(3)lga00b1k渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求下降迅速，已接近最低水平k。回总目录回本章目录(4)lga0b1k渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求从最低水平k迅速上升。回总目录回本章目录二、皮尔曲线模型及其应用皮尔曲线预测模型为：1tbtLyae回总目录回本章目录4.6曲线拟合优度分析一、曲线的拟合优度分析如前所述，实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。回总目录回本章目录拟合优度指标：评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作为优度好坏的指标：2ˆ()yySEn回总目录回本章目录