圆锥曲线定点定值及其他常用结论(个人整理-已经没错误)

圆锥曲线定点定值及其他常用结论一、直线过定点问题过定点模型：,AB是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中,分别为,MAMB的倾斜角，则有下面的结论：①、MAMB为定值直线AB恒过定点；②、MAMBkk为定值直线AB恒过定点；③、(0)直线AB恒过定点.方法：要证明直线ykxm过定点，只需要找到k与m之间的关系即可.确定定点(,)Pmn，可以证明,,APBPAB任意两个斜率相等即可.二、定值问题基本思路：转化为与,AB两点相关的斜率1k与2k的关系式1212,xxxx的关系式代数式形式的定值(多个参数)结论：①若代数式表达式结果为分式，且为定值，则系数对应成比例；形如baxdcx，若bdac，则该式为定值，与x无关；（注意x是变量，具有任意性，是主元）②若代数式表达式结果为整式，则无关参数的系数为0.例如：112xt，当012t即21t时，该式为定值与x无关.（注意x是变量，具有任意性，是主元）三、椭圆经典结论1、过椭圆22221xyab(0ab＞0,＞上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于,BC两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.（求偏导可得到）（类似结论适合于双曲线，抛物线）2、设椭圆22221xyab（0ab＞＞）的两个焦点为12,FFP、（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在12PFF中，记12FPF,12PFF,12FFP，则有sinsinsincea.3.椭圆22221xyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222AaBbC4.已知椭圆22221xyab（0ab＞＞），O为坐标原点，,PQ为椭圆上两动点，且OPOQ.（对原点张直角）1）22221111||||OPOQab;2）22OPOQ的最大值为22224abab;3）OPQS的最小值是2222abab.4）直线PQ必经过一个定点2222(,0)abab；5）点O到直线PQ的距离d为定值：22baabd.5.过椭圆22221xyab（0ab＞＞）的右焦点F作直线交椭圆于,MN两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.类比．过双曲线22221xyab（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.6．设椭圆22221xyab（a＞b＞0）,M（m，0）或（0，m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q（A1,A2为对称轴上的两顶点）的交点N在直线l：2axm（或2bym）上.（用极点与极线直接写出来）7、椭圆中的过定点模型：,AB是椭圆22221(0)xyabab上异于00(,)Pxy的两动点，其中,分别为,PAPB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：（手电筒模型）12DADBPAPBkk直线AB恒过定点2222002222()()(,)xabyababab类比．给定双曲线C：22221(0)xyabab,对C上任意给定的点000(,)Pxy,它的任一直角弦必须经过定点（2222002222(,)ababxyabab.8、抛物线中的过定点模型：,AB是抛物线22(0)ypxp上异于00(,)Dxy的两动点，其中,分别为,DADB的倾斜角，则可以得到下面充要的结论：（手电筒模型）12DADBDADBkk直线AB恒过定点00(2,)xpy特别地12OAOBOAOBkk直线AB恒过定点(2,0)p.9、设P点是椭圆22221xyab（0ab＞＞）上异于长轴端点的任一点,12,FF为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)122tan2PFFSb.（双曲线12222byax(a0,b0)中,2tan221bSPFF,其中θ=∠F1PF2.）10.椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb，椭圆上的动点可设sin,cosba对于22(0)ypxp抛物线上的动点的坐标可设为200(,)2yyp，（抛物线独有的一点两设）以简化计算.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）(4).双曲线焦点到渐近线的距离总是b.顶点到渐近线的距离为abc(5).双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.抛物线常用设AB为过抛物线22(0)ypxp焦点的弦，1122(,)(,)AxyBxy、，直线AB的倾斜角为，则1.221212,;4pxxyyp2.12,21cos21cosppppAFxBFx3.1222;sinpABxxp4.112||||FAFBP5.202sinABPS圆锥曲线的切线问题（用极点与极线直接写出来）（证明需要求偏导）1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.2.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则以0P为切点的切线的椭圆的切线方程是00221xxyyab.3.若000(,)Pxy在双曲22221xyab（a＞0，b＞0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab.4.已知点M(x0,y0)在抛物线C:y2=2px(p≠0)上时，M为切点的切线l:y0y=p(x+x0).（切点弦结论完全相同，用极点与极线直接写出来）圆锥曲线的中点弦问题(点差法)（广义的垂径定理）（也适合于相切情况）AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka=e2-1，即0202yaxbKAB。AB是双曲线22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka=e2-1，即2020ABbxKay。（上面是焦点在X轴上）（焦点在Y轴上取倒数）圆锥曲线定点问题大全结论曲线类型曲线方程曲线上定点P12,kk分别是直线,PMPN的斜率，,MN是曲线上异于点证明MN直线恒过定点(,)TTTxy或直线MN的序号P的两点斜率MNk为定值结论1椭圆22221(0)xyabab00(,)xy120kk2020MNbxkay120kk20000222(,)ybxyxa2122bkka00MNykx2122bkka2222002222(,)ababxyabab结论2双曲线22221(0,0)xyabab00(,)xy120kk2020MNbxkay120kk20000222(,)ybxxya2122bkka00MNykx2122bkka2222002222(,)ababxyabab结论3抛物线22(0)ypxp00(,)xy120kk0MNpky120kk00022(,)ypxy120kk002(,)pxy