4-角平分线的性质-大赛获奖课件-公开课一等奖课件

1.4角平分线第一章三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时角平分线1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．学习目标情境引入如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O导入新课1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________PDPE第一次第二次第三次COBAPD=PEpDE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质一讲授新课验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC(2)∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.∴=,()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段———直接应用ABCP变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.D4温馨提示：存在一条垂线段———构造应用ABCP变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面积.D14PDBCPDPBDBPCPBDBBCDBADDBAB（3）求∆PDB的周长.·AB·PD=28.12PDBS由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，=1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解角平分线的判定二PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.思考：这个结论正确吗？逆命题已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP，∴点P在∠AOB角的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的对应角相等）.OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP证明猜想判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.知识总结例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.GHMABCFED┑例4如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMABONMABP方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：归纳总结图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线的性质当堂练习2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.ABCD3E1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=.60BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？AOBMNP解：在RT△MOP和RT△NOP中，OM=ON，OP=OP，∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）.∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.课堂小结角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段判定定理在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上见《学练优》本课时练习课后作业更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源1.3线段的垂直平分线第一章三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时线段的垂直平分线1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）学习目标导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC观察：已知点A与点A′关于直线l对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′.●●lAA′D21(A)讲授新课线段垂直平分线的性质一我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.知识要点如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的数量关系．ABlP1P2P3探究发现P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl活动探究猜想：点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离分别相等．命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC验证结论微课--证明线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理：总结归纳例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm典例精析C解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6B.5C.4D.32.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长是.B10cmPABCD图①ABCDE图②定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆命题到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？线段垂直平分线的判定二想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论（1）当点P在线段AB上时，∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.微课--线段垂直平分线的逆命题到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：应用格式：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.总结归纳例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：∵AB=AC，∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？利用三角形的全等证明证明：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC，OD＝OD，∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.∴BD＝CD.∴直线AO垂直平分线段BC.试一试：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.∴OE是CD的垂直平分线.当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB；C．A