利用窗函数法设计FIR滤波器

1第6章有限脉冲响应数字滤波器的设计IIR的设计SpecificationsDesiredIIRButterworth,Chebyshev,Ellipse脉冲响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法LPtoHP,BP,BS2回顾IIR优点：•利用模拟滤波器成熟的理论和设计图表，保留了模拟滤波器优良的幅度特性缺点：•只考虑了幅度特性，没考虑相位特性，一般具有非线性相位特性•如果要得到线性相位特性，需要增加相位校正网络，使滤波器变得复杂，增加了成本，而且难以保证严格的线性相位特性引入FIR优点：•在满足幅度特性技术要求的同时，很容易实现严格的线性相位特性3FIR滤波器概述系统函数10()()NnnHzhnz•H(z)在z平面有N-1个零点，在原点处有一个N-1重极点，因此H(z)永远稳定。•稳定和线性相位特性是FIR滤波器的最突出优点。FIR滤波器设计方法•不同于IIR。IIR借助模拟滤波器，FIR直接选择有限长度的h(n)，使得频响函数满足要求。•三种主要设计方法：窗函数法、频率采样法和Chebyshev等波纹法46.1线性相位FIR数字滤波器回顾6.2利用窗函数法设计FIR滤波器6.3利用频率采样法设计FIR滤波器6.4利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器6.5IIR和FIR数字滤波器的比较6.6FDATool56.1线性相位FIR数字滤波器回顾考虑长度为N的h(n)，系统函数为：1()0()()()NjjnjgnHehneHe什么是线性相位FIR？10()()NnnHzhnz频率响应函数为：jzeHg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。(6.1.1)(6.1.2)6H(ejω)线性相位是指：θ(ω)是ω的线性函数，即τ为常数(6.1.3)或θ(ω)满足下式：,θ0是起始相位(6.1.4)严格地说，(7.1.4)中θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即()dd0第一类线性相位第二类线性相位7第一类线性相位：•h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即线性相位条件：()(1)hnhNn第二类线性相位：•h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即()(1)hnhNn注意：充分条件(6.1.5)(6.1.6)87.2利用窗函数法设计FIR滤波器理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻π2π2π2π2πππππππππ2π2π2π29理想滤波器为Hd(z)()()jjnddnHehne基本思路hd(n)是与其对应的单位脉冲响应。频率响应为()()nddnHzhnz求和上下限为什么要取无穷？？？对ω是连续的，需要无穷个这样的函数，才能逼近分段连续的理想滤波器的频率响应jne10Unfortunately,hd(n)序列不可能无限长，我们只能选取其中的N个，组成实际的序列h(n)，比如：()()()dNhnhnwn基本思路wN(n)是长度为N的窗口。得到：注意：通常选择构造长度为N的第一类线性相位FIR滤波器，即要求h(n)关于n=(N-1)/2偶对称。可以选择多种形状的窗口10()()NnnHzhnz11图6.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗如果选择矩形窗口RN(n)窗函数法的一些性质•在时域上，截取了理想滤波器的部分单位单位响应序列，作为实际滤波器的单位脉冲序列•用有限长的h(n)代替无限长的hd(n)，必然引起误差，即Gibbs效应，使得在频域上•过渡带加宽•通带、阻带波动•N越大，误差越小，但系统越复杂、成本越高•设计的基本目标•构造窗函数，减少Gibbs效应•满足线性相位特性12窗函数法导致的频域误差•h(n)对应的频率响应是什么样子？1310()()NnnHzhnz可以这样计算：10()()NjjnnHehne也可以这样计算：根据傅立叶变换的频域卷积定理，有()()()dNhnhnwn()()11()()()()()22jjjjjdNdNHeHeWeHeRed该用哪种方法呢？？？14wN(n)=RN(n)11002221(1)22221()()1sin(/2)()sin(/2)jNNNjjnjnNNjnnNNNjjjjNjaNjjjeReRneeeeeeNeReeee矩形窗sin(/2)1(),sin(/2)2NNNRRN(ω)称为矩形窗的幅度函数15RN(ω)的特性RN(ω)在[-2π/N,2π/N]区间的一段波形称为主瓣，其余较小的波动称为旁瓣。主瓣旁瓣16设Hd(z)为希望逼近的线性相位低通滤波器，其频率响应为：1,()0,cdcH得到实际滤波器H(z)的频率响应为：1()()()2dNHHRd其中，其幅度特性Hd(ω)为()()jjddHeHe()1()()()21()()2jjajadNjadNHeHeRedeHRd最终得到实际滤波器H(z)的幅度特性H(ω)为：线性相位Hd(ω)和RN(ω)的卷积17Hd(ω)和RN(ω)的卷积形成的波形：•ω=0，H(0)为(a)、(b)两波形的积分，即RN(ω)在[-ωc,ωc]之间积分。当ωc2π/N，近似于RN(ω)在[-π,π]之间积分，归一化该积分为1。•ω=ωc，当ωc2π/N，近似为RN(ω)一半波形的积分，近似值为1/2•ω=ωc-2π/N，主瓣在[-ωc,ωc]之内，最大负旁瓣在[-ωc,ωc]之外，Hd(ω)有一个最大正峰•ω=ωc+2π/N，主瓣在[-ωc,ωc]之外，最大负旁瓣在[-ωc,ωc]之内，Hd(ω)有一个最大负峰•最大正负峰距离4π/N18通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下三点：(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN(ω)主瓣宽度，即4π/N。(2)通带内增加了波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。(3)通带和阻带中波纹的情况与窗函数的幅度函数有关，RN(ω)旁瓣幅度的大小直接影响了H(ω)波纹幅度的大小。选择合适的窗函数会改变旁瓣幅度，因此可以改变H(ω)波纹幅度19增加矩形窗长度（即加大N）的效果增加N并不能减小波纹幅度在主瓣附近，RN(ω)可近似为sin(/2)sin()/2NNxRNxN增大时：•主瓣幅度增加，旁瓣也增加，相对值不变•主瓣、旁瓣距离变小，波动频率加快20几种典型窗函数四种波形图：•窗函数时域波形、幅度特性曲线•理想低通滤波器加窗后的单位脉冲响应、幅度特性曲线定义几个参数：•旁瓣峰值αn——最大旁瓣的最大值相对于主瓣最大值的衰减值(dB)•过渡带宽度Bg——该窗函数设计的FIR数字滤波器的过渡带宽度•阻带最小衰减αs——该窗函数设计的FIR数字滤波器的阻带最小衰减211.矩形窗(RectangleWindow)sin(/2)()/2NNR其频率响应为()()jjaNNReRe幅度特性为指标：αn=-13dB;Bg=4π/N;αs=-21dB222.三角形窗(BartlettWindow)21,0(1)12()212,(1)112BrnnNNwnnNnNN(6.2.8)其频率响应为1()22sin()24()[]sin(/2)NjjBNWeeN(6.2.9)2sin()24()[]sin(/2)BgNWN幅度特性为23指标：αn=-25dB;Bg=8π/N;αs=-25dB243.汉宁(Hanning)窗——升余弦窗2()0.5[1cos()]()1HnNnwnRnN当N1时，N-1≈N，幅度特性为22()0.5()0.25[()()]HngNNNWRRRNN12()()NjjHnHngWeWe其频率响应为旁瓣对消，能量集中在主瓣25图6.2.3汉宁窗的幅度特性26指标：αn=-31dB;Bg=8π/N;αs=-44dB274.哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗2()[0.540.46cos()]()1HmNnnRnN其频响函数WHm(ejω)为22()()11()0.54()0.23()0.23()22()0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmNNNHmgNNNWeReReReWRRRNN其幅度函数WHmg(ω)为当N1时，可近似表示为22()0.54()0.23()0.23()HmgNNNWRRRNN能量更集中在主瓣，约占99.96%。是Matlab默认窗函数28指标：αn=-41dB;Bg=8π/N;αs=-53dB295.布莱克曼(Blackman)窗24()[0.420.5cos0.08cos]()11BlNnnnRnNN其频率响应函数为22()()1122()()11()0.42()0.25[()()]0.04[()()]jjjjNNBlNNNjjNNNNWeReReReReRe其幅度函数为lg22()0.42()0.25[()()]11440.04[()()]11BNNNNNWRRRNNRRNN旁瓣进一步抵消，但过渡带增宽30指标：αn=-57dB;Bg=12π/N;αs=-74dB31常用的窗函数的时域波形32图6.2.5(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗33图6.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗346.凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow)002201()(),01()21(1)11()1(())!2kkkIwnnNInNxIxk式中I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：前五种为参数固定窗函数，旁瓣幅度是固定的。凯塞—贝塞尔窗参数可调，是一种最优窗函数。35一般I0(x)取15~25项，便可以满足精度要求。α参数可以控制窗的形状。一般α加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4α9。当α=5.44时，窗函数接近哈明窗。α=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为(1)/21()(0)2()cosNkkkn36凯塞窗参数对滤波器的性能影响37六种窗函数的基本参数38(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ejω)，那么单位取样响应用下式求出：1()()2jjddhnHeed22101()()()MjkjknMMMddkhnIDFTHkHeeM根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下关系：()()()MdMrhnhnrMRn用窗函数设计FIR滤波器的步骤39例如，理想低通滤波器的单位取样响应hd(n)为：(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带宽度近似等于窗函数主瓣宽度。(3)计算滤波器的单位取样