北师大版九年级数学知识点汇总

北师大版九年级数学知识点汇总第一章特殊平行四边形一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。（4）平行四边形是中心对称图形。3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。4、面积：S平行四边形=底ⅹ高二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。（2）菱形的四条边都相等。（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（3）四条边都相等的四边形是菱形。4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半三、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。（2）矩形的四个角都是直角。（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有三个角是直角的四边形是矩形。4、面积：S矩形=底ⅹ高四、正方形1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。（2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。（4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形=菱形+矩形（3）有一个角是直角的菱形是正方形。（4）对角线相等的菱形是正方形。4、面积：S正方形=边长的平方；S正方形=对角线乘积的一半五、中点四边形1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形2、中点四边形：一般四边形→平行四边形；平行四边形→平行四边形；菱形→矩形；矩形→菱形；正方形→正方形。第二章一元二次方程一、定义：我们把形如2(,,)axbxcoabcao为常数，的方程，称为一元二次方程。其中2ax，bx，c分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。二、解一元二次方程的方法1、配方法：移项→二次项系数化为1→配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）→开平方（有正负两个结果）→求解→写根。2、公式法：化为一般形式（2axbxco）→找出a，b，c（记得带上符号）→代入根的判别式（24bac）→代入求根公式242bbacxa（240bac）→求解→写根。3、因式分解法：当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。（1）提公因式法：0acbc→()0cab（2）公式法：①平方差公式：22()()ababab②完全平方公式：2222()aabbab（3）十字相乘法：2()()()xpqxpqxpxq三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程2()axbxcoao（1）当240bac时，方程有两个不相等的实数根。（2）当240bac时，方程有两个相等的实数根。（3）当240bac时，方程没有实数根。四、一元二次方程根与系数之间的关系（韦达定理）如果方程2()axbxcoao有两个实数根1x，2x，那么12bxxa，12cxxa五、应用一元二次方程（1、几何面积问题；2、销售问题）审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。第三章概率的进一步认识一、列表法和化树状图法1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。2、画树状图法：当一次实验涉及3个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法。二、频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A发成的频率mn稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率PAP第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：四条线段,,,abcd中，如果a与b的比等于c与d的比，即acbd，那么这四条线段,,,abcd叫做成比例线段，简称比例线段。2、性质：（1）基本性质：如果acbd，那么adbc；如果adbc,,,0abcd都不等于，那么acbd（2）等比性质：如果==0acmbdnbdn，那么acmabdnb（3）合比性质：如果acbd，那么abcdbd，abcdbd二、平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例三、相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方四、相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方五、黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BCACBC，如果ACBCABAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即:0.618:1ACAB六、位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,'P所在的直线都经过同一点O，且有'OP=0kOPk，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数0kk，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k第五章投影与视图一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面叫做投影面1、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影二、三视图1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高（2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽（3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正（2）主视图和左视图的高平齐（3）左视图和俯视图的宽相等第六章反比例函数一、定义：一般的，形如0kykkx为常数，的函数，叫做反比例函数。其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数二、表达式：1、kyx；2、1ykx；3、xyk三、图象与性质1、图象：由两条曲线组成（双曲线）2、性质：3、反比例函数比例系数k的几何意义如图，在反比例函数kyx上任取一点,Pxy，过这一点分别作x轴，y轴的垂线PE，PF与坐标轴围成的矩形PEOF的面积Sxyk4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线yx和直线yx第七章直角三角形的边角关系函数k图象所在象限增减性kyx0kk为常数，0k第一、三象限,xy同号在同一象限内，y随x的增大而减小0k第二、四象限,xy异号在同一象限内，y随x的增大而增大k越大，函数图象越远离坐标原点对边斜边ACBbac一、锐角三角函数在RtABC中，90C，则A的三角函数为二、特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1三、解直角三角形1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系：90AB（2）三边关系：222abc（勾股定理）（3）边角关系：sincosaABc，cossinbABctanaAb，tanbBa2、解直角三角形的类型和解法第八章二次函数一、概念：一般的，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成2,,,yaxbxcabcao是常数的形式，则称y是x的二次函数，其中，x是自变量，,,abc分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项sin212223cos232221tan333定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)1tantanAB已知条件图形解法已知一直角边和一个锐角,aA2290,,sintanaaBAcbbcaAA或已知斜边和一个锐角,cA2290,sin,cosBAacAbcAbca或已知两直角边,ab22,tan,90acabAABAb由求已知斜边和一条直角边,ca22,sin,90abcaAABAc由求斜边的对边AAsincaAsin1sin0ABAcossinBAsincos1cossin22AA斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA对边邻边b斜边ACBbac二、二次函数图象及其性质1、图像与性质2、抛物线与,,abc的关系函数2,,,0yaxhkahka为常数2,,,yaxbxcabcao是常数图象0a0a0a0a性质开口方向开口向上开口向下开口向上开口向下对称轴直线xh直线2bxa增减性当xh时，y随的x增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随的x增大而减小；当2bxa时，y随的x增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随的x增大而减小；0a时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；0a时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小顶点,hk24,24bacbaa最值抛物线有最低点，当xh时，y有最小值，yk最小值抛物线有最高点，当xh时，y有最大值yk最大值抛物线有最低点，当2bxa时，y有最小值244acbya最小值抛物线有最高点，当2bxa时，y有最大值244acbya最大值a决定抛物线开口方向0a，抛物线开口向上；0a，抛物线开口向下决定抛物线开口大小a越大，开口越小,ab决定抛物线对称轴位置，对称轴为直线2bxa0b，对称轴为y轴；0ab，对称轴在y轴左侧；同号在左，0ab，对称轴在y轴右侧异号在右c决定抛物线与y轴的交点位置0c，抛物线过原点；