时间数列因素分析预测法

第1节长期趋势分析预测法趋势分析预测法是遵循事物连续原则，分析预测目标时间序列资料呈现的长期趋势变动轨迹的规律性，用数学方法找出拟合趋势变动轨迹的数学模型，据此进行预测的方法。应用趋势分析预测法有两个假设前提：①决定过去预测目标发展的因素，在很大程度上仍将决定其未来的发展；②预测目标发展过程一般是渐进变化，而不是跳跃式变化。在满足三个假设前提后，去掌握时间序列长期趋势发展的变化轨迹，最常见的轨迹线有：直线、二次曲线、指数曲线、生长曲线等，然后建立对应的函数模型来描述，据此进行外推预测。正确掌握时间序列长期趋势发展的规律性变化轨迹，是正确选择模型的关键。2ctbtaY0Yt0Yt0Yt0Yt0Yt0YtbtaYtbkaYtabY32tbtaYdtctab-kY修正指数曲线戈珀兹曲线三次指数曲线指数曲线直线二次指数曲线简捷的方法是画时间序列的直角坐标散点图，通过目估判断而定。此外，从数学分析角度，可利用时间的差分变化情况作出判断。判断认识预测目标时间序列趋势线的数学模型后，要设法确定数学模型中的参数，才能进行外推预测。主要有：直线趋势延伸法、曲线趋势延伸法、指数曲线延伸法和戈珀兹曲线趋势延伸法等。一、直线趋势延伸法预测目标的时间序列资料逐期增（减）量大体相等时，长期趋势即基本呈现线性趋势，便可选用直线趋势延伸法进行预测。直线趋势延伸法的预测模型为：式中：t为已知时间序列Yt的时间变量；时间序列Yt的线性趋势估计值；a、b为待定参数，a为截距，b为直线斜率，代表单位时间周期观察值的增（减）量估计值。btatYˆtYˆ22)(ttnYttYnbntbnYa直线趋势延伸法的关键是为已知时间序列找到一条最佳拟合其长期线性发展规律的直线。正确地推算出a和b参数，最常用的方法是最小二乘法。最小二乘法的基本原理：已知时间序列各数值Yt与拟合趋势线估计值的离差平方和为最小。它的数学表达式为：将预测模型代入上式，利用极值定理、最佳拟合条件可以转换为联立方程。最佳拟合直线的a和b参数，可利用已知时间序列预测目标Yt和时间变量t的n个资料，经统计计算出代入联立方程组后便可求得。最小2tt）Yˆ-Y（tbnaY2tYtbta，ttYtY2,,,在预测中通常按时间顺序给时间变量t分配序号。经常采用的分配序号方法有：①以零开始顺序编号，若包含n个观察值，则t的序号为0~（n-1）；②从1开始以自然数编序号，若包含n个观察值，则n为1-n；③为了简化计算，使∑t=0，当时间序列中数据点数目为奇数，如n=7，则取-3，-2，-1，0，1，2，3为序号；若为偶数时，如n=8，则取-4，-3，-2，-1，+1，+2，+3，+4为序号，此时，a和b计算式为：22)(ttnYttYnbntbnYa2ttYbnYa可简化成：表11-1某经济区市场鸡蛋销售量预测表观察期实际销售量/万吨Yt误差199736-525-18031.23+4.7722.75199826-416-10433.62-7.6258.06199932-39-9636.01-4.0116.08200040-24-8038.40+1.602.56200150-11-5040.79+9.2184.8220024500043.18+1.823.31200342+114245.57-3.5712.74200448+249647.960.040.00200545+3913550.35-5.3528.62200655+41622052.74+2.265.11200756+52528055.13+0.870.7611nt2ttYbtaYtˆ)ˆ(tYYe2e475Y81.2342e263tY0112t0t例11-1设某经济区1990-2007年市场鸡蛋销售量如表11-1所示，求趋势线，预测2008年销售量。解：（1）把变数Y和变数t画在分析图上。由图可见，观察值的时间序列是一条接近直线的趋势线，因而宜采用直线趋势法进行预测。（2）求直线趋势线预测模型参数。在此，给时间变量t分配序号，且使∑t=0。计算求解联立方程或利用a，b计算公式所需要的有关数据，计算等，计算结果如表11-1所示。这样，将表中有关数据代入公式，便可得：YtYt,,218.4311475nYa39.21102432ttYb预测模型为该模型说明以时间序列平均值43.18万吨为起始点1997年的销售量，随着时间的推进，每推进一年，销售量平均增加量为2.39万吨。（3）利用已知时间序列t变量值，代入预测模型便可得出该时间序列各年的预测值（即拟合误差），如表11-2所示。同时，也可计算出预测值的离差平方和，标准误差S=4.62(万吨)，从而可了解到模型精确程度。（4）依据预测模型延伸外推，确定预测值。按时间序列时间变量t推进，2008年的t值为6，则2008年此经济区鸡蛋销售量预测值为：)(52.57639.218.4339.218.43ˆ6万吨tYtYt39.28.43ˆ81.2342e（5）2008年预测值57.52万吨是预测模型直线的延伸外推的结果，实际销售量恰好落在此直线上的情况很少。通常，人们要以这一信息选择一个置信范围（也称置信区间），使未来每一个可能的实际值落在置信区间内的可靠性达到需要的水平。这里有一个计算近似置信区间的常用公式：式中，Y0为预测模型某时期的外推预测值；S为预测模型对时间序列预测标准误差；a显著性水平（它取决于预测时要求达到的可靠性程度，因为1-a为可靠性程度，比如要求预测达到90%的可靠性程度，a即为10%）；t0为显著性水平为a时的t统计分布表中数值，它由附录C表查得；n-2为自由度（即查t统计分布表时的n-m-1，m为自变量个数，在此m=1）；n为时间序列数据量（本例为11）。tY39.218.43ˆ6)2/(ˆ0nnStYa置信区间若可靠性程度要求为90%(a=10%)，f=n-2=11-2=9，则由附录C表查得t10%=1.833，故有：从而，此经济区鸡蛋销售量2008年在置信区间〔47.91~67.13〕万吨的近似概率为90%。13.67,91.4761.952.579/1162.4833.152.57置信区间运用最小二乘法建立的直线趋势延伸预测模型进行预测，与运用平滑技术建立直线预测模型进行预测，它们之间的相同点为：都遵循事物发展连续原则，预测目标时间序列资料呈现单位时间增（减）量大体相同的长期趋势变动为适宜条件。它们的区别：①预测模型的参数计算方法不同：直线趋势延伸法模型参数来自最小二乘法数学推导平滑技术主要来自经验判断决定a.②线性预测模型中时间变化的取值不同。直线趋势延伸法中时间变量取值决定未来时间在时间序列的时序；平滑技术模型中时间变量的取值决定未来时间相距建模时点的时间周期数。③模型适应市场的灵活性不同。直线趋势延伸预测模型参数对时间序列资料一律同等看待，在拟合中消除了季节、不规则、循环三类变动因子的影响，反映时间序列资料长期趋势的平均变动水平；平滑技术预测模型参数对时间序列资料则采用重近轻远原则，在拟合中能较灵敏地反映市场变动的总体水平。④随着时间的推进，建模参数计算的简便性不同。随着时间推进，时间序列资料随之增加，直线趋势延伸预测模型参数要重新计算，且与前面预测时点的参数计算无关；平滑技术模型参数同样要重新计算，但与前面预测时点的参数计算是有关系的。直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对象的近期、中期预测；平滑技术建立的线性模型更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期、近期预测。二、曲线趋势延伸法市场经济活动受多种因素的综合作用，市场经济变量，如商品供应、市场需求、价格水平、商品库存等，其长期趋势变动轨迹有时会呈现不同形式的曲线。主要介绍时间序列资料呈现：指数曲线、二次曲线、三次曲线和戈伯兹曲线的预测模型的建立及应用。1、指数曲线趋势法应用指数曲线趋势法的条件是：时间序列反映预测目标的发展趋势变动基本上表现为大体稳定的按一定比例增长的趋势。指数预测模型公式：式中：为t时期模型预测值；a为时间序列初期水平；b为时间序列的平均发展速度；t为时间序列时间周期序量。数学模型两边以对数，则得：令故有：利用最小二乘法求参数A和B，即解下面联立方程组得到：对解出的参数A和B取反对数就可求到a和b。ttabYˆtBAYt'bBaAYYttlg,lg,ˆlg'btaYlglgˆlg2'tBtAtYtBnAY'tYˆ2''ttYBnYA例11-2某市近6年灯具商品销售量资料如表11-3所列。试预测2008年的销售量。年份时序t销售量Y逐期增长率%预测值200220032004200520062007合计-5-3-113508.710.613.316.520.626.095.7—0.220.250.240.250.28—0.93951.02531.12391.21751.31381.41507.0350-4.6975-3.0759-1.12391.21753.94147.07503.336625911925708.5910.7013.3316.6020.6825.75—2t'tYYˆYYlg'解：（1）根据资料画出散点图。因为符合指数曲线趋势预测法应用条件，故采用指数曲线预测模型。（2）采用使∑t=0方法分配时序。将实际资料取对数由最小二乘法可求参数A和B。即得指数曲线的对数形式模型为：或对A和B取反对数，求a和b，a=14.876,b=1.116，得指数曲线预测模型：（3）预测2008年灯具销售量，将t=7代入预测模型，得：'2'',,lgtYtYYY计算ttY)116.1(876.14ˆ04767.0703366.31725.160350.72''ttYBnYAtBtAYt04767.01725.1lg)(08.32ˆ2008万架Y2、多次曲线趋势法多次曲线的预测模型为多项式：实际预测中最常见的还是二次和三次曲线，我们仅介绍二次曲线的趋势法。只要根据已知的观察值资料求出系统a，b和c值，就可以建立二次曲线的预测模型，其他高次曲线的预测模型可以类推。二次曲线趋势法，适用于时间序列资料的变动属于由高到低再升高，或由低到高再降低的趋势形态的预测，即各数据点分布呈抛物线轨迹形态。若将二次曲线预测模型表达为：mtQtctbtaY2ˆ2ˆctbtaYt利用最小二乘法可以推导出计算a、b和c三参数的联立方程为：利用时间序列数据，统计计算出连同n代入联立方程求解，即可求得a、b、c，因而可建立预测模型。4322tctbtaYt2tctbnaY32tctbtatYYttYYtt242,,,,42222tctaYttbtYtcnaY若采用给时间变量分配序号，且满足∑t=0，联立方程组简化为：例11-3设某纺织品批发公司近7年的实际销售额资料如表11-4所示，预测2008年和2009年的市场销售额。观察期实际销售额Y2001200220032004200520062007350300250350400450550-3-2-10123941014981161011681-1050-600-2500400900165031501200250040018004950334.52303.57300.00323.81375.00453.57559.5202t4t117502YtYt2tY1650tY282t2ˆctbtaYt2650Y1964tt解：（1）绘制7年观察值分布图，判断其变动形态。观察值的变动趋势