高中数学《导数的概念及几何意义》课件

1．1导数的概念及几何意义瞬时速度：物体在某一时刻的速度。在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10求ｔ＝2时的瞬时速度？新课学习思考：t在[2,2.1]内的平均速度是多少？t在[2,2.01]内的平均速度是多少？t在[2,2.001]内的平均速度是多少？t在[2,2.0001]内的平均速度是多少？t在[2,2.00001]内的平均速度是多少？(2)(2)13.14.9hhtvtt2(2)(2)4.9(2)6.5(2)10(4.946.5210)13.14.9hthvttttt△t0时，从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度△t0时，从(2+△t)s到2s这段时间内平均速度△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?vvvvvvvvvv当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1。从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1m/s。v0,22lim13.12,0,13.1.ththtttv为了表述方便我们用表示“当趋近于时平均速度趋近于确定值”0(2)(2)13.1ththvt当时，0xx0000()()limlimxxfxxfxyxx00()()htthtt0000()(llim)imttshtttvhtt跳水运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度：跳水运动员在t=t0时刻的瞬时速度：函数f(x)从到的平均变化率00()()fxxfxyxx0x0xx函数f(x)在处的瞬时变化率为导数的定义xxfxxfxyxfyxfxxxfyxxfxxfxyxxxfyxxxxxx)()(limlim)()()()()(limlim)(0000000000000即：或记作处的导数，在我们称它为函数处的瞬时变化率是在点一般的，函数例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是)2(f).6(f和根据导数的定义,所以,求导数的步骤：(1)求平均变化率00()()fxxfxyxx(2)取极限得导数00()limxyfxx牛顿莱布尼茨导数的几何意义βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,函数y=f(x)的图象上有任意一点P(x0,y0),Q为P在曲线C上邻近的一点,Q(x0+∆x,y0+∆y)tanPQykxPQoxyy=f(x)割线切线T当点Q沿着曲线逐渐向点P接近△x→0,割线PQ有一个极限位置PT.我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.PTxkxy0lim曲线在点P(x0,y0)处的切线的斜率0000()()tanlimlimxxfxxfxykxx切线函数f(x)在点x0处的导数00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx所以函数y=f(x)在点x0处存在导数时，导数的几何意义为：函数在该点处切线的斜率。即0(x)kf切线练一练1、求函数f(x)=x2在x=3处的导数。2、1(x)fx求在x=1处的导数，并求出f(x)在该点处切线的方程。1、求函数f(x)=x2在x=3处的导数。解：2、解：11(1)(1)1(1)limlim1lim11xoxoxofxfxfxxx由导数的几何意义知，所求的切线的斜率为-1，且切线经过点（1,1）。由点斜式得，f(x)在x=1处切线的方程为y=-x+1小结导数概念的形成过程平均速度平均变化率瞬时变化率瞬时速度导数由平均变化率过渡到瞬时变化率的三种方式解析式抽象几何直观感受数值逼近xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000马克思曾对微积分作过一番历史考察，他把这一时期称为“神秘的微积分”时期，并有这样的评论：“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几何应用上是惊人的）结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。”恩格斯早就指出：“一个民族想要站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。”