直线与双曲线的位置关系-课件

直线与双曲线的位置关系1．直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线______，直线与双曲线C相交于________．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．平行一点Δ0⇒直线与双曲线有______公共点，此时称直线与双曲线_______；Δ＝0⇒直线与双曲线有_____公共点，此时称直线与双曲线______；Δ0⇒直线与双曲线______公共点，此时称直线与双曲线_______．两个相交一个相切没有相离2．弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2________＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.|x1－x2|命题方向直线与双曲线位置关系[例1]已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．[分析]要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．[解析]x2－y2＝4y＝kx－1，消去y得，(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．①4－3k201－k2≠0，即－233k233，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②4－3k2＝01－k2≠0，即k＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．③4－3k201－k2≠0，即k－233，或k233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，当－233k－1，或－1k1，或1k233时，直线与双曲线有两个公共点；当k＝±1，或k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k－233，或k233时，直线与双曲线没有公共点．过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1，作倾斜角为π6的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝________.[答案]3[解析]双曲线焦点坐标为F1(－2,0)、F2(2,0)，直线AB的方程为y＝33(x＋2)，把该直线方程代入双曲线方程得，8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝12，x1x2＝－138.|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋13×122－4×－138＝3.命题方向中点弦问题[例2]已知双曲线的方程为x2－y22＝1.试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由．[分析]不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90°.[解析]解法一：设被B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－y22＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)0.解得k32，且x1＋x2＝2kk－1k2－2.∵B(1,1)是弦的中点，∴kk－1k2－2＝1，∴k＝232.故不存在被点B(1,1)所平分的弦．解法二：设存在被点B平分的弦MN，设M(x1，y1)、N(x2，y2)．则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且x21－y212＝1，①x22－y222＝1.②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴kMN＝y1－y2x1－x2＝2，故直线MN：y－1＝2(x－1)．由y－1＝2x－1x2－y22＝1消去y得，2x2－4x＋3＝0，Δ＝－80.这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在．过点P(4,1)的直线l与双曲线x24－y2＝1相交于A、B两点，且P为AB的中点，求l的方程．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214－y21＝1，x224－y22＝1，两式相减得：14(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵P为AB中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.∴y2－y1x2－x1＝1，即所求直线l的斜率为1，∴l方程为y－1＝x－4，即x－y－3＝0.命题方向综合应用问题[例3]直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．[解析](1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后整理得，(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故k2－2≠0Δ＝2k2－8k2－20－2kk2－202k2－20，解得k的取值范围为－2k－2.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝2k2－k2x1·x2＝2k2－2，假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(62，0)，则FA⊥FB，∴(x1－62)(x2－62)＋y1y2＝0，即(x1－62)(x2－62)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.(1＋k2)x1x2＋(k－62)(x1＋x2)＋52＝0，∴(1＋k2)·2k2－2＋(k－62)·2k2－k2＋52＝0，化简得5k2＋26k－6＝0.解得k＝－6＋65，或k＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k＝－6＋65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→2(其中O为原点)，求k的取值范围．[解析](1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知得a＝3，c＝2，于是a2＋b2＝22，b2＝1，故双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由直线l与双曲线交于不同的两点，得1－3k2≠0Δ＝62k2＋361－3k2＝361－k20，即k2≠13且k21.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝62k1－3k2，xAxB＝－91－3k2.由OA→·OB→2，得xAxB＋yAyB2.xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋2)(kxB＋2)＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)－91－3k2＋2k62k1－3k2＋2＝3k2＋73k2－1.于是3k2＋73k2－12，即－3k2＋93k2－10，解得13k23，又∵k21，∴13k21，故k的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．[例4]已知双曲线x2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．[错解]设l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.由题意，Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)·(－k2＋2k－5)＝0，所以k＝52.[辨析]错因在于忽视了4－k2＝0，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个交点也符合题意．另外没有考虑直线l斜率不存在的情况．[正解]可分两种情况：(1)直线l斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意；(2)直线l斜率存在时，设l方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0，当4－k2＝0时，k＝±2，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，所以k＝52.综上，k＝52或k＝±2或k不存在．