第10章--应力应变分析及应力应变关系

1第10章应力应变分析10.1应力的概念一点处的应力状态10.2应力张量的表示方法10.3平面应力状态分析10.4主平面主方向主应力最大剪应力10.5莫尔圆10.6三向应力状态分析10.7应变分析10.8应力应变关系作业6学时应力应变关系10.6(1)10.7(1)(2)10.910.1010.1110.1210.132本章主要内容第10章应力应变分析应力应变关系(1)从静力学的角度给出应力的概念，一点处的应力状态的分析；(2)(3)应力和应变的关系将一点处的应力与应变联系起来的是材料本身所固有的力学性能，在大量实验结果的基础上，本章给出常见工程材料的应力应变关系。从连续介质变形几何学的角度，给出应变的概念，一点处的应变状态的分析；3第10章应力应变分析§10.1应力的概念一点处的应力状态引入应力概念的意义用截面法求得物体任意截面上的内力，这一组内力只是截面上分布内力的等效力系，一般来说，这一部分内力在截面上各点的数值与方向是不同的。对于变形固体来说，为进一步描述内力在截面上的分布性质，需要引入应力的概念。应力应变关系4应力考察物体截面上的内力分布，设物体截面某点M处微元面积上的内力合力矢量为，该微元上的内力分布的平均值当时，这一极限值称为物体该截面上该点的应力。应力的含义：(1)应力是内力矢量在该点的集度。(2)截面上某点的应力是一个矢量。正应力剪应力(切应力)5应力的量纲与单位点的应力状态(1)应力矢量与所取截面的方向有关应力矢量正应力分量剪应力分量它们都是在物体某一截面上定义的，因此应力矢量与所取截面的方向有关(2)一维物体的应力矢量当研究对象为杆件（一维物体）时，描述的截面仅为杆件的横截面，正应力、剪应力足以清楚地给出横截面上各点的内力分布。因此，在研究杆件时，除非特别指明所研究的截面为斜截面，多数情况只需清楚地描述杆件横截面上任意一点的正应力和剪应力。6(3)二维或三维物体的应力矢量当研究对象为二维或三维物体（如板或块）时，过物体中某一点M，可以取无数多个不同的截面，无数多个不同方向的截面上的应力矢量，其中的任意一个并不能全面描述点M的总体应力特性。因此，需用过一点的所有方向截面上的应力矢量的集合来描述点M的总体应力特性，称为该点的应力状态。应力张量描述一点处应力状态的这些矢量（无穷多个）的集合，要用一种新的物理量，即二阶张量，称为一点的应力张量。二阶张量与标量、矢量不同，需要有新的表示方法。7§10.2应力张量的表示方法单元体（微元体）若取直角坐标系，可在物体内某点周围，用三对分别垂直于三个坐标轴的截面切取一个边长无限小的长方体，称为该点的单元体。为了描述一般受力状态下变形固体内任意一点处的应力状态，需引入一点处单元体的概念。单元体各表面的应力分量(1)由“某一截面上应力矢量”的定义，可以知道单元体的6个表面上定义着该点不同方向截面上的应力矢量，且由于单元体边长无限小，相对的两个面上应力矢量大小相等、方向相反。(2)若以直角坐标来描述应力矢量，则每个表面上的应力矢量可分解为一个正应力（沿该表面的法线方向）两个剪应力（沿该表面相互正交的两个切向方向）8(3)应力矢量的记法a.以x、y、z轴方向表示单元体三对相互垂直的表面法线方向，正面——外法线方向与坐标轴正向一致的表面；负面——外法线方向与坐标轴正向相反的表面；b.各表面上应力的记法i——应力分量所在平面的法线方向j——应力分量指向c.应力分量的“+,-”规定正面上与坐标轴同向的应力分量为“+”；负面上与坐标轴反向的应力分量为“+”，反之为“-”。(4)各面上的应力分量及正向，如图所示。9正面上的应力分量负面上的应力分量单元体上的应力分量10结论：(1)以单元体来描述一点的应力状态，仅需要描述该点处3个相互垂直的截面上的应力状况。(2)可以证明，对于二阶张量，只要知道这3个面上9个应力分量，则通过该点的任意方向截面上的应力矢量就可用其表示出来，即该点的应力状态是完全确定的。用二阶张量描述一点的应力状态(1)一点的应力状态用二阶张量来描述时，表示方法各种各样，如直角坐标系、柱坐标系和球坐标系等。(2)应力分量按其所在平面及方向依次排列成阶方阵正应力分量剪应力分量(3)常常写作以下形式：11正应力分量剪应力分量(4)二阶应力张量的矩阵形式(5)二阶应力张量的指标形式将直角坐标系作如下替换：12剪应力互等定理(1)若将任意一点处的单元体看作从物体中切出来的一个分离体，则可对单元体写出全部6个平衡方程（假设研究的物体不存在体力矩）1314(2)剪应力互等定理在物体内任一点处互相垂直的两个截面上，剪应力总是同时存在，且大小相等，两者的方向共同指向或共同背离这个两截面的交线。用张量指标形式可表示为一点的应力状态(1)应力张量——二阶对称张量，9个分量中，6个独立分量。(2)一点处的应力张量可写为或或15§10.3平面应力状态分析平面应力状态单元体各面上的应力分量中，有的分量为零，而不为零的分量都位于同一平面内。假设所有不为零的应力分量都位于xy平面内，如图法线与xy平面垂直的那些单元体表面上的应力分量的数值为零。这种应力状态称为平面应力状态。平面应力状态，单元体可简化为平面表示方法，如图16平面应力状态的应力张量矩阵形式：指标形式：平面应力状态只有3个不为零的独立分量17杆件内各点的平面应力状态杆件受力时，杆内各点的应力状态通常为平面应力状态。弹性力学的平面应力记法工程上平面应力记法18斜截面上的应力状态工程上平面应力记法考虑到，仅数值相等则19斜截面应力公式20§10.4主平面主方向主应力最大剪应力斜截面应力公式若给定外力，正应力和剪应力确定，当斜截面的变化时，某点处斜截面上的正应力、剪应力也随之变化。21令则即可以找到互相垂直的两个斜截面，其上的剪应力都为零。若考察这两个相互垂直的特殊截面上的正应力，令可见，主平面上的正应力具有极值。与式(10.32)相同主平面主方向若在某个方向的斜截面上剪应力恰好为零，则这个方向的斜截面称为主平面。该斜截面的方向角称为主方向。22主应力由确定的的两个值，一个对应于正应力极大值，一个对应正应力极小值。主平面上的这两个正应力极值称为主应力。主应力的一般表达式23(4)在主坐标系中该点的应力状态的表达形式为最简单形式，即只有两个不为零的分量。而所有平行于z轴的斜截面上的正应力，以为极值。主坐标系主单元体应力状态的最简形式(1)一点的应力状态，在不同的坐标系下，其应力张量的表达形式是各不相同的。(2)若选取该点两个相互垂直的主方向为坐标方向，分别记为1轴和2轴，将坐标系O12称为该点的主坐标系。(3)主坐标系中的单元体称为主单元体。如图所示。主坐标系O1224平面应力状态的3个主应力(1)在平面应力状态中，平行于z轴的平面上，既无正应力也无剪应力。这种面也是主平面，其上的主应力数值也为零。(2)物体内任意一点若为平面应力状态，该点应有3个主应力，数值分别为。(3)3个主应力按代数值大小顺序排列记为。即第一主应力第二主应力第三主应力25多向应力状态若将以上讨论的平面应力状态推广到任意的三维应力状态情形，同样可以找到相互垂直的3个主平面及3个主应力。(1)三向应力状态若3个相互垂直的主平面对应的3个主应力数值都不为零，这种应力状态称为三向应力状态。(2)二向应力状态若3个相互垂直的主平面对应的3个主应力，其中有一个主应力为零，这种应力状态称为平面应力状态，又称为二向应力状态。(3)单向应力状态若3个相互垂直的主平面对应的3个主应力中，其中有2个主应力为零，这种应力状态称为单向应力状态，或称为简单应力状态。例如：单向拉压。(4)一般的三向应力状态的最大值和最小值对于一般的三向应力状态，该点的主应力为过该点所有方向的截面上正应力的极值，即一点的正应力应该有最大值和最小值，以为最大值；以为最小值。26不同方向斜截面上的剪应力(1)剪应力的极值的方位角不同方向斜截面上的剪应力也随斜截面方向的改变而变化，也可能在某一方向上取得极值。令最大剪应力所在平面的方向角(2)主应力方向角与剪应力方向角的关系27与相差与相差两个主方向和之间的角平分线方向为和的方向如图所示28(3)剪应力的极值将代入可得到剪应力的极值注意：是指所有平行于z轴的这组截面上的剪应力所取的极值，这一极值所在的截面恰好位于3个主应力中的两个（和）之间的方向上。主剪应力3个主应力之中的任意两个之间的方向上都可以找到这样一组剪应力的极值，即平行于第三个主方向的所有截面上剪应力的极值。这三组剪应力极值称为主剪应力。29该点的最大剪应力最大剪应力过该点的所有方向截面上剪应力的最大值可以从3个主剪应力中选取出来最大剪应力所在的平面平行于主应力的方向，且最大剪应力法线方向与主应力的方向的夹角都为，如图所示，阴影截面就是最大剪应力所在的截面。30§10.5莫尔圆（应力圆）平面应力状态的图解法。莫尔圆（应力圆）建立直角坐标系，水平轴为正应力轴，垂直轴为剪应力轴。若某点的应力状态为平面应力状态，以该点某一方向截面上的正应力和剪应力的数值为坐标，可在平面上得到一个代表点。所有方向的截面的代表点在平面上构成一条曲线，有分析可知，这条曲线是一个封闭的圆，称为该点的莫尔圆，也称应力圆。莫尔圆（应力圆）的画法(1)斜截面上应力的符号规定该点任意方向截面上的正应力，以拉为“+”；剪应力，以使单元体有顺时针转动趋势为“+”。31(2)莫尔圆（应力圆）方程推导一点处某方向截面上的正应力和剪应力之间应满足的关系。平面的圆方程，圆心为，半径为32莫尔圆（应力圆）的几何解释若一点处的莫尔圆（应力圆）已知，则圆周上任意一点的坐标值就对应（表示了）该点处某一方向截面上的正应力和剪应力。如图所示。33莫尔圆（应力圆）的作用莫尔圆（应力圆）图直观地给出了平面应力状态下单元体各方向截面上应力分量随截面方位变化的图象，对定性判断主方向、主应力、各方位斜面上的应力有很大帮助。三种特殊应力状态的莫尔圆（应力圆）工程上常见的3种应力状态：单向拉伸、单向压缩和纯剪切。单向拉伸单向压缩纯剪切34§10.6三向应力状态分析将平面应力状态推广就可以得到任意的三向应力状态。某点处的应力状态存在3个主应力和3个主平面由于某点处的应力张量是实对称矩阵，根据线性代数理论，三维空间中是实对称矩阵，必存在3个实特征值，且数值不相等的特征值所对应的特征向量相互正交。因此，一点处必存在3个主应力，且3个主应力数值不等时，存在3个相互垂直的主平面。静水应力状态(1)若3个主应力中，有两个主应力数值相等，即特征方程有一对二重根，则在与第三个主应力方向垂直的平面内，任意方向都是主方向。(2)若3个主应力数值相等，，即特征方程有三重根的情况，称为静水应力状态。(3)主轴坐标系主轴主单元体35以一点处的3个相互垂直的主方向为坐标轴的坐标系称为该点的主轴坐标系。主轴坐标系主轴坐标系中的3个轴称为主轴。分别记为1、2、3轴。主轴在主轴坐标系中切取的单元体为主单元体。主单元体在主单元体上，应力的表示最为简单，如图所示。(4)静水应力状态的应力张量在主轴坐标系中，静水应力状态的应力张量可表示为对角矩阵球形应力张量36(5)球形应力张量的性质设某点的应力状态在某一坐标系中可写成球形张量，由于球形张量的非主对角线元素为零，所以在坐标的任意旋转变化下，球形张量在新的坐标系中的应力分量，都满足单位矩阵即球形张量在任意旋转变换后的新坐标系中应力状态仍为对角矩阵。这说明该点的任意方向都是主方向。静水应力状态——这一特殊应力状态在流体静力学中也会遇到，实际上，静止流体内部的压强在每点都是一个球形张量。3个主应力中，有一个为零时即为平面应力状态；3个主应力中，有两个为零时即为单向应力状态。37主剪应力最大剪应力(2)最大剪应力(1)在分别平行于主应力、、方向的三组截面上，分别存在着各组截面的最大剪应力（有3个），三者作用在每组截面中与另两个主方向成角的截面上，如图的3个阴影面，三者称为主剪应力。3个主剪应力中最大者应为该点所有方向截面上的剪应力的最大值38计算主应力及相应的主方向工程中，构件的