最全圆锥曲线知识点总结(新)

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！1高中数学椭圆的知识总结1.椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点12,FF的距离之和等于常数（12122PFPFaFF），这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意：若1212PFPFFF，则动点P的轨迹为线段12FF；若1212PFPFFF，则动点P的轨迹无图形.（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（222abc）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。2.椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：①范围：,axabyb；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。⑥（2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；②点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；③点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab3．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；（2）相切：0直线与椭圆相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；如:直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是_______；4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5.弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB＝2121kxx，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝21211yyk，若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；如（1）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称；特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！椭圆知识点的应用1.如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2.椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义椭圆标准方程中，cba,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：cba,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程均不为零）CBACByAx,,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCByACx，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！2共焦点，则c相同。与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：①若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称；②若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；③若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、、，有关角21PFF(21PFF21BFF)结合起来，建立21PFPF、21PFPF之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(eace，因为222bac，0ca，用ba、表示为)10()(12eabe。显然：当ab越小时，)10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。题型1:椭圆定义的运用例1.已知1,FF为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点若2212FAFB，则AB______.例2.如果方程222xky表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.例3.已知P为椭圆2212516xy上的一点，,MN分别为圆22(3)1xy和圆22(3)4xy上的点，则PMPN的最小值为题型2：求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)经过两点(3,2),(23,1)AB；(2)经过点(2，－3)且与椭圆229436xy具有共同的焦点；(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4.题型3:求椭圆的离心率例1、ABC中，30,2,3,oABCAABSV若以,AB为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为.例2、过椭圆的一个焦点2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1.已知实数,xy满足22142xy,则22xyx的范围为例2.已知点,AB是椭圆22221xymn（0,0mn）上两点,且AOBOuuuruuur,则=题型5：焦点三角形问题例1.已知12,FF为椭圆22194xy的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知12,,PFF为一个直角三角形的三个顶点，且12PFPF,求12PFPF的值.例2.已知12,FF为椭圆C:22184xy的两个焦点，在C上满足12PFPF的点的个数为.例3.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21FF,且离心率1e2①求椭圆的方程;②设点P在椭圆上,且121PFPF,求cos21PFF.所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！3题型6:三角代换的应用例1.椭圆221169xy上的点到直线l:90xy的距离的最小值为___________．例2.椭圆221169xy的内接矩形的面积的最大值为题型7：直线与椭圆的位置关系的判断例1.当m为何值时，直线yxm与椭圆221169xy相交？相切？相离？例2.若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围；题型8：弦长问题例1.求直线24yx被椭圆224199xy所截得的弦长.例2.已知椭圆2212xy的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积；题型9：中点弦问题例1.求以椭圆22185xy内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。例2.中心在原点，一个焦点为1(0,50)F的椭圆截直线32yx所得弦的中点横坐标为12，求椭圆的方程．例3.椭圆221mxny与直线1xy相交于A、B两点，点C是AB的中点．若22AB，OC的斜率为22（O为原点），求椭圆的方程．巩固训练1.如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,且o1=90BDB,则椭圆的离心率为2.设12,FF为椭圆2214xy的两焦点，P在椭圆上，当12FPF面积为1时，12PFPFuuuruuur的值为3.椭圆221369xy的一条弦被4,2A平分,那么这条弦所在的直线方程是4.若12,FF为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若122112::1:2:3PFFPFFFPF,则此椭圆的离心率为5.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)xyabab的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=．双曲线基本知识点双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa范围xa，yRya，xR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2(,0)Fc1(0,)Fc2(0,)FcxyP1F2FxyxyP1F2Fxy所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！4焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc顶点坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率221,(1)cbeeaa渐近线方程xabyayxb共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）直线和双曲线的位置双曲线12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长2212121()4ABkxxxx补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；（2）其标准方程为22xyC，其中0C；（3）离心率2e；（4）渐近线：两条渐近线y=±x互相垂直；例题分析：例1、动点P与点1(05)F，与点2(05)F，满足126PFPF，则点P的轨迹方程为（）Ａ．221916xyＢ．221169xyＣ．221(3)169xyy≥Ｄ．221(3)169xyy≤同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34yx，则离心率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54Ｄ．3例2、已知双曲线2214xyk的离心率为2e，则k的范围为（）Ａ．121kＢ．0kＣ．50kＤ．120k同步练习二:双曲线22221xyab的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为．例