高考数学-常见难题大盘点-数列

2013高考数学常见难题大盘点：数列1.已知函数2()1fxxx，,是方程f(x)＝0的两个根()，'()fx是f(x)的导数；设11a，1()'()nnnnfaaafa(n＝1，2，……)(1)求,的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有na＞a；解析：(1)∵2()1fxxx，,是方程f(x)＝0的两个根()，∴1515,22；(2)'()21fxx，21115(21)(21)12442121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa＝5114(21)4212nnaa，∵11a，∴有基本不等式可知25102a(当且仅当1512a时取等号)，∴25102a同，样3512a，……，512na(n＝1，2，……)，2.已知数列na的首项121aa（a是常数，且1a），24221nnaann（2n），数列nb的首项1ba，2nabnn（2n）。（1）证明：nb从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设nS为数列nb的前n项和，且nS是等比数列，求实数a的值；（3）当a0时，求数列na的最小项。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a的不同而要分类讨论。解：（1）∵2nabnn∴22211)1(2)1(4)1(2)1(nnnanabnnnnnbna2222(n≥2)由121aa得24aa，22444baa，∵1a，∴20b，即{}nb从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）1(44)(21)34(22)221nnnaSaaa当n≥2时，111(22)234342(22)234(1)234nnnnnSaaaSaaaa∵}{nS是等比数列,∴1nnSS(n≥2)是常数，∴3a+4=0，即43a。（3）由（1）知当2n时，2(44)2(1)2nnnbaa，所以221(1)(1)2(2)nnanaann，所以数列na为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……显然最小项是前三项中的一项。当1(0,)4a时，最小项为8a-1；当14a时，最小项为4a或8a-1；当11(,)42a时，最小项为4a；当12a时，最小项为4a或2a+1；当1(,)2a时，最小项为2a+1。点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和3.已知数列{}na中各项为：12、1122、111222、……、111n个222n个……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn.分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1）12(101)10(101)99nnnna1(101)(102)9nn101101()(1)33nn记：A=1013n,则A=333n为整数na=A(A+1)，得证(2)21121010999nnna2422112(101010)(101010)999nnnSn2211(101110198210)891nnn点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。4.已知数列na满足411a，),2(2111Nnnaaannnn．（Ⅰ）求数列na的通项公式na；（Ⅱ）设21nnab，求数列nb的前n项和nS；（Ⅲ）设2)12(sinnacnn，数列nc的前n项和为nT．求证：对任意的Nn，74nT．分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：（Ⅰ）12)1(1nnnaa，])1(1)[2()1(111nnnnaa，又3)1(11a，数列nna11是首项为3，公比为2的等比数列．1)2(3)1(1nnna，即123)1(11nnna.（Ⅱ）12649)123(1121nnnnb．9264321)21(1641)41(19nnSnnnnn．（Ⅲ）1)1(2)12(sinnn，1231)1()2(3)1(111nnnnnc．当3n时，则12311231123113112nnT212211211321])(1[28112312312317141nn7484488447612811])21(1[6128112n．321TTT，对任意的Nn，74nT．点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列na的通项na，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。考点三：数列与不等式的联系5.已知为锐角，且12tan，函数)42sin(2tan)(2xxxf，数列{an}的首项)(,2111nnafaa.⑴求函数)(xf的表达式；⑵求证：nnaa1；分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。解：⑴1)12(1)12(2tan1tan22tan22又∵为锐角∴42∴1)42sin(xxxf2)(⑵nnnaaa21∵211a∴naaa,,32都大于0∴02na∴nnaa1点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。6.已知数列na满足111,21nnaaanN（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若数列nb满足nnbnbbbba)1(44441111321，证明：nb是等差数列；（Ⅲ）证明：23111123nnNaaa分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。解：（1）121nnaa，)1(211nnaa故数列}1{na是首项为2，公比为2的等比数列。nna21，12nna（2）nnbnbbbba)1(44441111321，nnnbnbbb24)(21nnnbnbbb2)(221①1121)1()1(2)(2nnnbnnbbbb②②—①得nnnnbbnb11)1(22，即1)1(2nnbnnb③212)1(nnnbbn④④—③得112nnnnbnbnb，即112nnnbbb所以数列}{nb是等差数列（3）1111212211211nnnnaa设132111naaaS，则)111(211322naaaaS)1(21112naSa3213212112nnaaaS点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。7.已知函数()ln1fxxx,数列na满足101a,1nnafa;数列nb满足1111,(1)22nnbbnb,*nN.求证:（Ⅰ）101;nnaa（Ⅱ）21;2nnaa（Ⅲ）若12,2a则当n≥2时,!nnban.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01na,*nN.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即01ka.则当n=k+1时,因为0x1时,1()1011xfxxx,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在0,1上连续,所以f(0)f(ka)f(1),即011ln21ka.故当n=k+1时,结论也成立.即01na对于一切正整数都成立.又由01na,得1ln1ln(1)0nnnnnnaaaaaa,从而1nnaa.综上可知101.nnaa(Ⅱ)构造函数g(x)=22x-f(x)=2ln(1)2xxx,0x1,由2()01xgxx,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在0,1上连续,所以g(x)g(0)=0.因为01na,所以0nga,即22nnafa0,从而21.2nnaa(Ⅲ)因为1111,(1)22nnbbnb,所以0nb,1nnbb12n,所以1211211!2nnnnnnbbbbbnbbb————①,由(Ⅱ)21,2nnaa知:12nnnaaa,所以1naa=31212121222nnnaaaaaaaaa,因为122a,n≥2,101.nnaa所以na1121222naaaa112nna2122na=12n————②.由①②两式可知:!nnban.点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量等的联系8.已知函数f(x)=52168xx，设正项数列na满足1a=l，1nnafa．(1)写出2a、3a的值;(2)试比较na与54的大小，并说明理由；(3)设数列nb满足nb=54－na，记Sn=1niib．证明：当n≥2时,Sn＜14(2n－1)．分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)152168nnnaaa，因为11,a所以2373,.84aa（2）因为10,0,nnaa所以1680,02.nnaa15548()52553444168432(2)22nnnnnnnaaaaaaa,因为20,na所以154na与54na同号，因为151044a，250,4a350,4a…，50,4na即5.4na（3）当2n时，1111531531()422422nnnnnnbaabaa113125224nnbb，所以2131212222nnnnnbbbb，所以3121(12)11114(21)422124nnnnnSbbb点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。9.在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中),(),,(nnnnbnBanA)0,1(nCn，满足向量1nnAA与向量nnCB共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的线上.,11abaa（1）试用a与n表示)2(nan；（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。解：（1）,),,1(),,1(1111naaCBAAbCBaaAAnnnnnnnnnnnnn共线，与又∵{B