排序不等式-的应用

排序不等式排序不等式（sequenceinequality），又称排序原理设12naaa，12nbbb为两组实数，12nccc、、、是12nbbb、、、的任一排列，则121111221122nnnnnnnabababacacacababab（反序和乱序和顺序和），当且仅当12naaa或12nbbb时，反序和等于顺序和。排序不等式也是基本且重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要的不等式都可以借助排序不等式得到证明。一、排序不等式的基本应用排序不等式的结构规律简明，易于记忆，借助它可以简捷地证明一些重要的不等式，尤其是对于具有大小顺序关系且个数相同的两列数，在考虑他们的对应项乘积之和的大小关系时，排序不等式是一个极其有用的工具。应用排序不等式，必须取两组个数相同、便于大小排序的数，此时有两种情形：一是知道各数的大小顺序，二是不知道各数的大小顺序，但由于不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序。例1设12naaa、、、是n个互不相同的正整数，求证：32122211112323naaaann分析：由于12naaa、、、是n个互不相同的正整数，因此它们可以进行排序；同时，观察需要证明的不等式，可以联想到12naaa、、、对应的另一列数是1、212、213、…、21n，由此可以联想到应用排序不等式。值得注意的是不能直接假设12naaa，会影响两列数的乘积之和是顺序和、乱序和还是反序和，所以需要定义12naaa、、、的大小关系。证明：设12nbbb、、、是12naaa、、、的一个排列，且满足1b＜2b＜…＜nb.因为12nbbb、、、是互不相同的正整数，所以11b，22b，…，nbn.又因为1＞212＞213＞…＞21n，故由排序不等式：乱序和反序和，得：123222111123naaaan123222111123nbbbbn222111111112312323nnn原不等式成立.例2设123aaa、、都是正数，求证：233112123312aaaaaaaaaaaa分析：观察需要证明的不等式，我们需要构造两组数，并且这两组的乘积可以出现123aaa、、，满足不等式的右端；观察不等式的左端，我们可以不妨设123aaa，构造121323aaaaaa和321111aaa，应用排序不等式证明不等式。证明：不妨设123aaa，则121323aaaaaa，321111aaa由排序不等式：顺序和乱序和，得：233123311212123312231aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa原不等式成立.例3设12naaa、、、是1,2n，，的一个排列，求证：1122312123nnaaannaaa分析：通过观察，把121naaa、、、与23naaa、、、分别看作两组有大小顺序的数组，联想应用排序不等式进行证明。证明：设121nbbb、、、是121naaa、、、的一个排列，且121nbbb；121nccc、、、是23naaa、、、的一个排列，且121nccc，则121111nccc，且11b，22b，…，11nbn，12c，23c，…，1ncn.由排序不等式：乱序和反序和，得：1112122312112123nnnnabaabbnaaacccn原不等式成立.总结：应用排序不等式证明不等式，必须构造出两列个数相等的数组，并且要利用数组的大小关系进行解题。因此，比较数组的大小关系是解题的基础。灵活构造两列数组，也是解题的关键所在。并且需要注意，在未给出数组大小关系的时候，要不失一般性的对数组进行大小顺序的排列。二、经过是当变形后，在运用排序不等式解决问题有些需要证明的不等式并不是直接给出排序不等式的乘积之和的形式，这时就需要我们对不等式从结构上观察进行适当的变形，为使用排序不等式创造条件。例1设abc、、为正数，求证：2222220cbabbcabbcca分析：本题通过观察发现，我们可以将不等式转化为222222cababcabbccaabbcca的形式，进而应用排序不等式进行解题。证明：原不等式等价于222222cababcabbccaabbcca不妨设abc，则222abc，abacbc，111abacbc由排序不等式：顺序和乱序和，得：222222cababcabbccaabbcca即2222220cbabbcabbcca例2设120naaa，120nbbb，12nccc、、、是12nbbb、、、的任一排列，求证：112121121212nnnnbcbbbbccbnnnaaaaaaaaa分析：通过观察发现，将结论中的指数形式转化为对数形式后，便可应用排序不等式，结合对数函数的单调性进而解决问题。证明：120naaa，12lnlnlnnaaa又120nbbb，由排序不等式：顺序和乱序和反序和，得：112211221121lnlnlnlnlnlnlnlnlnnnnnnnnbababacacacabababa112121121212lnlnlnnnnnbcbbbbccbnnnaaaaaaaaaln0fxxx为单调递增函数，所以112121121212nnnnbcbbbbccbnnnaaaaaaaaa例3设abc、、为正实数，求证：333abcabcbcacba分析：通过前面几道题的训练，我们很容易构造两个数组，应用排序不等式；但通过计算我们发现，应用一次排序不等式后，形式进行了转化，需再次运用排序不等式并结合不等式的性质解决问题。证明：不妨设0abc，则abacbc，333abc，111abacbc由排序不等式：顺序和乱序和，得：333333222abcabcabcbcacbaacabbccab又222abc，111abc由排序不等式：顺序和乱序和，得：333222222abcabcabcabcbcacbacababc原不等式成立.三、两次或多次运用排序不等式，通过累加法解决问题根据排序不等式：顺序和乱序和反序和，我们可以发现乱序和的形式不止一种，所以我们经常利用这一点构造多个不等式进行累加，从而得到所需要的不等式，这是运用排序不等式的常用策略。例1在ABC中，求证：3aAbBcCabc分析：根据三角形边和角之间的关系，并注意到aAbBcC的形式，我们很容易联想到应用排序不等式；若注意到ABC，则问题迎刃而解。证明：不妨设abc，则ABC由排序不等式：顺序和乱序和，得：aAbBcCaAbBcCaAbBcCaCbAcBaAbBcCaBbCcA以上三式相加，得：3aAbBcCabcABCabc即3aAbBcCabc例2设abc、、都是正数，求证：22212abcabcbccaab分析：通过观察发现，我们可以构造两个数组0abc和0abcbcacab，但它们的乘积没有出现不等式右端abc、、的形式，我们便可通过累加法来约去每一项分母。证明：不妨设0abc，0abcbcacab由排序不等式：顺序和乱序和，得：222abcabcbcabccaabbcacab222abcabccabbccaabbcacab两式相加，得：2222abcabcbcacababcbccaabbcacab原不等式成立.例3（切比雪夫不等式）设12naaa、、、，12nbbb、、、为任意两组实数，如果12naaa且12nbbb，求证：112212121211nnnnnnnabababaaabbbabababnnnn，当且仅当12naaa或12nbbb时，等号成立。证明：先证11221212nnnnabababaaabbbnnn此不等式等价于11221212nnnnnabababaaabbb121211221223113242nnnnnnaaabbbababababababababab1211nnnababab由排序不等式：顺序和乱序和，得：1122112211221223111221324211221211nnnnnnnnnnnnnnnabababababababababababababababababababababababab以上n个式子相加，得：11221212nnnnnabababaaabbb即11221212nnnnabababaaabbbnnn同理，由排序不等式：顺序和乱序和反序和，得：1122121112231121113242121112111211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnabababababababababababababababababababababababab以上n个式子相加，得：12121211nnnnnaaabbbnababab即12121211nnnnnaaabbbabababnnn