浅析矩阵论的发展与应用1解读

浅析矩阵论的发展和应用摘要：矩阵是数学中的一个重要的基本概念。起初的矩阵式作为线性代数中的一个小分支慢慢发展而来的，但随着其在图论、代数、组合数学和统计上的广泛应用，使之逐渐成为数学中一个不可替代的组成部分，并发展为一个独立的分支。矩阵理论体系的形成，也推广了矩阵论在不同领域的发展和应用。本文从矩阵论发展过程的角度出发，浅析了矩阵论在不同领域的应用。关键字：矩阵论，矩阵分解，实际应用1矩阵论的发展“Matrix”这一词语由西尔维斯特首先使用的，但是他并没有给出明确的概念。矩阵的现代概念在19世纪初期逐渐形成。19世纪初期，德国数学家高斯、爱森斯坦等已经使用了矩阵中的有关线性变换和矩阵乘积等的相关知识。矩阵（Matrix）的明确概念是由英国数学家凯莱在1858年在著作《关于矩阵理论的研究报告》中给出的。在这份报告中，凯莱率先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，他被认为是矩阵论的创立者，并为矩阵理论的发展奠定了良好的基础。随后，弗罗伯纽斯等人逐渐完善了矩阵的理论体现形成了矩阵的现代理论[1]。然而，矩阵理论思想的萌芽却由来已久。早在公元前1世纪的《九章算术》中[2]，矩阵形式解方程组已经运用的相当成熟，但也仅仅是作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并未建立起独立的矩阵理论。直到18世纪和19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中的应用日益广泛并为矩阵的发展提供了良好的条件。矩阵理论的早起的概念是独立于矩阵理论本身而存在的，它从不同的领域和思想研究中的逐步发展，并逐步形成了后来的矩阵理论。首先是在17世纪的欧洲，克莱姆和范德蒙等数学家将行列式在线性方程组的求解中做了极大的应用，并最终形成现代矩阵论中的克莱姆法则和范德蒙行列式。到18世纪末，拉格朗日、达朗贝尔等数学家将矩阵（此时矩阵的概念还没有明确提出）的维度空间从单维扩展到了四维或者n维，并提出了n个变量（12,nxxx）的二次型。直到19世纪的初期，伴随着行列式理论的蓬勃发展，与矩阵理论密切相关的线性空间、线性变换理论等也趋于成熟。但是在1844年之前n维空间的概念一直未能从代数中独立出来。在此之前，它一直被认为是符号化的算术。n维空间概念的真正脱离出来成为一个脱离空间直观的纯数学概念是以1844格拉斯曼发表的《张量演算》为节点的。19世纪初到19世纪3、40年代，以柯西、雅可比、凯莱以及哈密顿等人为代表的数学家都为矩阵理论的形成和发展做了很多突出的贡献。2不同理论中的矩阵思想和矩阵思想的创立矩阵理论的形成是在多种理论的共同推进下而演化出来，并形成独立的数学对象。不同理论中的矩阵里理论思想的孕育和发展也是因“论”而异。下面主要简要介绍一下以二次型理论、微分方程理论、行列式理论等理论中的矩阵思想的孕育和发展，并简要说明西尔维斯特对矩阵的初期研究和矩阵理论的创立。2.1二次型理论中的矩阵思想矩阵理论在二次型理论中的体现主要是矩阵的阵列。在当时，矩阵中的阵列就是一二次型为主要形式表示的。在1748年，欧拉就已经将矩阵论中的特征值和特征根的相关概念应用到了三个变量的二次型中。特征方程的概念是由拉格朗日在他有关于线性微分方程的著作中提出的，与此同时，特征根的概念也在拉普拉斯的作品中出现过。随后在1773年，拉格朗日在齐次多项式中提出线性变换的概念及齐次线性正交变换[1]。即将齐次多项式的表达式222rzqyzpy通过线性代换nxmszNxMsy，变换成222NmMnqprQPR。1801年高斯出版《算术研究》，将欧拉，拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广。过程如下：一整数n表示成整数,,,abxy的形式，设ncybxyaxF222yx，，令''''yxyyxx。则F变换成一个新的形式nycyxbxayxF22'''''2'''''，,其中222'''aacbcab，'F的系数依赖于F的系数和变换本身。这种将变换的系数写成矩阵阵列的形式，实际上就是后来的矩阵理论中的乘法思想。尽管当时的高斯已经用单个字母只带一个特殊的变换，但并没有明确的提出乘法这中思想。2.2微分方程中的矩阵思想微分方程的发展源自于物理问题的需要，物理学中的微分方程的普遍的应用“迫使”微分成为一门独立的学科。微分方程的求解过程中渗透着矩阵的一些概念，诸如特征值，特征向量等。特征方程的概念在微分方程中早就有隐含，例如欧拉考虑弹性问题求解常系数一般线性方程时就已经有涉及到。在达朗贝尔[4]的从1743年到1758年的著作中，对二阶微分方程组32103122，，iyadtydkkiki进行了探讨，为了解这个方程组，对3个方程分别乘上一个常量iv，而后加在一起得321031，，kvavkikii，即如果321vvv是矩阵ikaA相应于的特征向量，那么变换332211yvyvyvu就是把方程化简成单个微分方程022udtud。在化简过程中孕育了特征向量、特征值等概念。受到二次曲面的启发，通过二次型的化简对微分方程进行研究，柯西在研究的过程中孕育了对称矩阵、特征方程、正交变换等矩阵中的概念。在二次曲面的问题中，柯西通过将一个二次曲面用一个二次型来表示，再通过将坐标变换将二次型转换成只含有平方项的形式。即将矩阵在线性变换的作用下实现对角化，并在n个变量的二次型中，将系数化为对角矩阵。之后柯西、西尔维斯特、雅可比等人分别证明了是对成矩阵的特征根是实数。2.3行列式中的矩阵思想矩阵和行列式的发展是同时进行的。行列式的发展促进了矩阵的产生，矩阵的发展则为行列式的进步起了推动作用。线性方程组的问题早在17世纪中期就已经出现了，先后有莱布尼兹、克莱姆等数学家运用行列式来解决线性方程组的问题。1764年，Bezout和欧拉分别证明了含有n个未知量n个方程的的齐次线性方程组在系数行列式等于零的时候有非零解。在行列式的发展中，贡献较为突出的就是范德蒙，较为著名的理论成果主要以其名字命名的范德蒙行列式[5]。范德蒙之后，柯西在行列式的理论方面也有突出贡献，他的贡献主要是一般行列式的乘法定理。证明了新组的行列式是原来2个组的行列式的乘积，即jic.jia.jib.，这里jia.和jib.代表n阶行列式，jknkkijibac.1..。这些理论中，实际上涉及了矩阵论中的正定矩阵、对称矩阵以及相似变换等概念和知识。之后又有雅可比和爱森斯坦等人分别在行列式的研究中涉及到了相对应矩阵论中矩阵的运算不符合交换律等问题。2.4矩阵的创立1850年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程时，由于无法使用行列式，所以引入了Matrix-矩阵这一词语。现代的矩阵理论给出矩阵的定义就是：由mn个数排成的m行n列的数表。在此之后，西尔维斯特还分别引入了初等因子、不变因子的概念[5]。虽然后来一些著名的数学家都对矩阵中的不同概念给出了的定义，也在矩阵领域的研究中做了很多重要的工作。但是直到凯莱在研究线性变化的不变量时，才把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，矩阵才作为一个独立的理论加以研究。矩阵概念的引入，首先是由凯莱发表的一系列和矩阵相关的文章，将零散的矩阵的知识发展为系统完善的理论体系。矩阵论的创立应归功与凯莱。凯莱在矩阵的创立过程中做了极大的贡献。其中矩阵的转置矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵的定义都是由凯莱给出的。“从逻辑上来说，矩阵的概念应限于行列式的概念，但在历史上却正好相反。”凯莱如是说。1858年，《Amemoironthetheoryofmatrices》系统阐述了矩阵的理论体系，并在文中给出了矩阵乘积的定义。对矩阵的研究并没有因为矩阵论的产生而停止。1884年，西尔维斯特给出了矩阵中的对角矩阵和数量矩阵的定义。1861年，史密斯给出齐次方程组的解的存在性和个数时引进了增广矩阵和非增广矩阵的术语。同时，德国数学家弗罗伯纽斯的贡献也是不可磨灭的，他的贡献主要是在矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面。并给出了正交矩阵、相似矩阵和合同矩阵的概念，指明了不同类型矩阵之间的关系和矩阵之间的重要性质。除此之外，许多数学家对矩阵论的创立和发展都有着极为重要的作用，限于文章的篇幅，这里就不在一一赘述，仅给出了几位有着卓越贡献的数学家的较为突出的成绩。3矩阵论的应用从上述矩阵的发展历史我们就可以看出，矩阵论在各个理论研究领域和生活中都有广发的应用。例如，矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学实验、信号传输等领域都被广发应用。随着科学技术的发展，各领域各学科对矩阵论使用的广泛程度也在增加，矩阵论的作用也越来越越重要。下面简述矩阵论在现实生活中的几个方面的应用。3.1矩阵在经济学中的应用在生活中的各个领域，数学在经济学中的应用无疑是最为广泛的。本小节主要是结合最典型的经济学中的案例说明矩阵在经济学中的应用。研究的问题是在一定需求的情况下，系统内各个企业应该如何生产才能满足需求。通过矩阵的引入和应用，该问题很容易就得到了解决。例如：在经济系统中存在这样三个企业，煤矿、电厂和铁路。且每个企业都有自己的单一产品并都有本系统内各企业的产品来加工或变换。假设已知表格如下[6]：生产部门消耗部门煤矿电厂铁路煤矿00.350.4电厂0.20.050.15铁路0.40.150.15现假设一个月中三个企业的订单为：煤矿4万元，电厂3.5万元，铁路4.5万元。现研究该月个企业如何生产才能完成任务？假设1x、2x、3x分别为煤矿，电厂，铁路的总产量，则课得到如下矩阵关系：123[,,]Txxxx，[4000035004500]Td，00.350.40.050.150.40.150.150.2T有xdTx经过一系列的矩阵变换，得到矩阵IT的逆矩阵是存在的（I是单位矩阵），说明无论需求d如何变化，总能得到x的解，也就是该经济系统是可行的。该案例虽然简单，但是可以归结出，经济学中的许多问题都可以归结或抽象成为简单的数学概念，而很多的数学概念是可以利用矩阵论中的知识进行求解的。此外，矩阵在经济学中还有其他方面的应用：1.利用矩阵方法计算投入产出分析中的直接消耗系数和完全消耗系数；2.利用矩阵方法求矛盾线性方程组的最小二乘解；3.利用矩阵的方法求线性规划问题中的最优解；4.矩阵的初等行变换在标准化经济效果中的应用；5.矩阵的理论与方法在农业科研中的几个应用。矩阵等数学基础知识在自然科学的其他领域也有着广泛的应用，诸如工业中，在理论上研究电路图的、电话网和城市交通网等设计的问题，都可以通过矩阵论的知识完成和实现。3.2矩阵论在密码学中的应用计算机科学技术也是矩阵论应用较为广泛的一个领域。矩阵计算的方便性使得矩阵可以简单的表示复杂的公式。在数字图像处理、计算机学中和人工智能方面都能发挥其作用[7]。本小姐以密码学为例。在军事通讯中，常将字符（信号）与数字对应，如[7]26252454321zyxedcba例如信息are对应一个矩阵5181B，但如果按这种方式传输，则很容易被敌人破译.于是必须采取加密措施，即用一个约定的加密矩阵A乘以原信号B，传输信号为TABC（加密），收到信号的一方再将信号还原（破译）为CABT1.如果敌方不知道加密矩阵，则很难破译.设收到的信号为TC312721，并已知加密矩阵为111110101A，问原信号B是什么？就上述问题，接收者可以在知道加密矩阵A的情况下，通过对矩阵A求逆和矩阵C相城得到矩阵B，也就是未加密的信号。此外，加密学中的棋盘密码、凯撒密码和维吉尼亚密码等各种密码都有矩阵论的应用。3.3其他应用除了在上述两种领域中的应用，矩阵论更广泛的应用主要是在工程计算中，这就是设计正交矩阵，广义逆矩阵[8]等等以系列的应用。统计学密切有关的如下几个方面：矩阵偏序、矩阵不等式、广义逆矩阵等，这些方面与统计学息息相关，特别是在多元分析和线性模型参数估计中都有着重要的应用。广义逆矩阵是对逆