2020考研数学(三)真题(含解析)

12020年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1)设()limxafxabxa，则sin()sinlimxafxaxa（）（A）sinba（B）cosba（A）sin()bfa（A）cos()bfa【答案】B【解析一】由()limxafxabxa，知lim()0xafxa，即lim()xafxa，则sin()sinsin()sin()limlim()xaxafxafxafxaxafxaxasin()sin()limlim()xaxafxafxafxaxa()sin()sinsinsinlimlimcos()fxauafxauabbbafxaua。【解析二】由拉格朗日中值公式得sin()sin(())cosfxafxa，其中介于a与()fx之间，由()limxafxabxa，知lim()0xafxa，即lim()xafxa，故limxaa，故sin()sin(())cos()limlimlimlimcoscosxaxaxaxafxafxafxabaxaxaxa。(2)函数11ln|1|()(1)(2)xxexfxex，则第二类间断点个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】C注：本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为：1.找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判定。【解析】()fx可能的间断点为1,0,1,2，1111lim()limln|1|(1)(2)xxxxefxxex，1x为第二类间断点，21111000ln|1|l1lim()limlim(1)(2)(2)2xxxxxxexexfxexxxe，0x为第一类（可去）间断点，1111ln|1|lim()lim(1)(2)xxxxxfxeex，11111ln|1|lim()lim0(1)(2)xxxxxfxexe，1x为第二类间断点，11221ln|1|lim()lim2(1)xxxxexfxxe，2x为第二类间断点，共3个。(3)对奇函数()fx在(,)上有连续导数，则()（A）0cos()'()xftftdt是奇函数（B）0cos()'()xftftdt是偶函数（C）0cos'()()xftftdt是奇函数（D）0cos'()()xftftdt是偶函数【答案】A【解析】()fx为奇函数，则'()fx为偶函数，且cosx为偶函数，则cos()cos()cos()fxfxfx，故cos()fx也为偶函数，令0()cos()'()xFxftftdt，则'()cos()'()Fxfxfx为偶函数，且(0)0F从而()Fx为奇函数。对于（C,D）：0()cos'()()'()cos'()()xGxftftdtGxfxfx，而cos'()cos'()fxfx，故cos'()fx也为偶函数，故cos'()()fxfx为非奇非偶函数。(4)已知幂级数1(2)nnnnax的收敛区间为(−2,6)，则21(1)nnnax的收敛区间为(A).(-2,6)(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【答案】B【解析】由比值法可知，幂级数21(1)nnnax收敛时，222112(1)limlim(1)1(1)nnnnnnnnaxaxaxa，由1(2)nnnnax的收敛区间为(−2,6)，知1nnnnax的收敛区间为(−4,4)，从而11(1)1limlim4nnnnnnnaanaa，3故2222112(1)(1)limlim(1)1(1)4nnnnnnnnaxaxxaxa，解得31x，选B。(5)设4阶矩阵()ijAa不可逆，12a的代数余子式120A，1234,,,是矩阵A的列向量组，*A为A的伴随矩阵，则*0Ax的通解为（）（A）112233xkkk（B）112234xkkk（C）112334xkkk（D）122334xkkk【答案】C【解析】()ijAa不可逆，知||0,()4ArA，又120A知，*0A且()3rA，从而(*)1rA，故*0Ax的基础解系有3个线性无关的向量。又*||0AAAE，知，A的列向量组均为*0Ax的解；而120A知，134,,线性无关，故134,,是*0Ax的基础解系，选【C】。(6)设A为3阶矩阵，12,为A的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，3为A的特征值−1的特征向量。若存在可逆矩阵P，使得1100010001PAP,则P可为（）（A）1323(,,)（B）1223(,,)（C）1332(,,)（A）1232(,,)【答案】D【解析】因为12,为A的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，即1122,AA，则121212()AAA，故122,仍为特征值1的两个线性无关的特征向量；因为3为A的特征值−1的特征向量，33A，即333()()A，则3仍为特征值−1的特征向量，因为特征向量与特征值的排序一一对应，故只需令1232(,,)P，即可。(7)设,,ABC为三个随机事件，且11()()(),()0,()()412PAPBPCPABPACPBC，则4,,ABC恰有一个发生的概率为（）（A）34（B）23（C）12（D）512【答案】D【解析】,,ABC恰有一个发生的概率为()()()()PABCABCABCPABCPABCPABC而()()()()()()PABCPABCPAPABCPAPABAC111()()()()004126PAPABPACPABC，()()()()()()PBACPBACPBPBACPBPABBC111()()()()004126PBPABPBCPABC，()()()()()()PCABPCBAPCPCBAPCPCBAC1111()()()()04121212PCPCBPACPABC，故1115()()()()661212PABCABCABCPABCPABCPABC。(8).若二维随机变量(,)XY服从10,0;1,4;2N，则下列服从标准正态分布且与X独立的是（）（A）5()5XY（B）5()5XY（C）3()3XY（D）3()3XY【答案】（C）【解析】由二维正态分布可知10,1,0,4,2XYXNYN，则()0EXY,()21423XYDXYDXDYDXDY,故(0,3)XYN,从而()0(0,1)3XYN，即3()(0,1)3XYN，选C.另外，()0EXY,()21427XYDXYDXDYDXDY,故(0,7)XYN,从而()0(0,1)7XYN，即7()(0,1)7XYN.5二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(9)arctansin()zxyxy，则(0,)|dz。【答案】(1)ddxy【解析一】微分法21arctansin()sin()1sin()dzdxyxydxyxyxyxy21sin()1sin()dxydxyxyxy21cos()()1sin()xdyydxxydxyxyxy2cos()cos()1sin()yxydxxxydyxyxy故(0,)2(0,)cos()cos()|(1)dd1sin()yxydxxxydydzxyxyxy。【解析二】公式法(0,)(0,)(0,)|zzdzdxdyxy，计算得22(0,)(0,)(0,)(0,)cos()cos()1,11sin()1sin()zyxyzxxyxyxyxyxyxy。(10)已知曲线满足20xyxye，求曲线在点(0,1)处的切线方程。【答案】1yx【解析】2201'(22')0'1xyxyxyeyeyxyy求导代入(0,-1)，故切线为1yx(11)设产量为Q，单价为p,厂商成本函数为CQ10013Q，需求函数为800()23Qpp，则厂商取得最大利润时的产量。【答案】8Q【解析】由800()23Qpp，知80032pQ，则利润函数为800()()3100132LQQpCQQQQ，6求导得，2()160016(2)dLQdQQ，解21600160(2)Q得，8Q。注：无需验证，由实际值最大值一定存在。(12)设平面区域21(,),0121xDxyyxx，则D绕y轴旋转所成旋转体的体积为。【答案】1ln23【解析一】微元法：在x处取微元dx，得体积微元：21212xdVxdxx，故2111220001221212xxxVdVxdxdxxx121123200011122ln(1)ln212263xxdxdxxxx【解析一】公式法：显然01y，由22212,111121xxyxyxyyyx，则111122222110022141Vxdyxdyydydyy121312041lnln233yyy。(13)行列式011011110110aaaa。【答案】424aa。【解析】34431221011011011001011011002001101101100101100000002rrccrrccaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa71442002010(1)01402002aaaaaaaaaaa。(14)随机变量X的分布律为1(),1,2,2kPXkk,Y为X被3除的余数，则EY。【答案】87【解析】Y的可能取值为0,1,2，则1(0)(3)nPYPXn，31011(1)(31)2nnnPYPXn，32011(2)(32)2nnnPYPXn，则3132001180(0)(1)2(2)2227nnnnEYPYPYPY。三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上．(15)(本题满分10分)设,ab为常数，且当n时，11nen与abn为等价无穷小，求,ab的值.【解析一】1111limli