计算机图形学基础教程习题课2(第二版)(孙家广-胡事民编著)

教案用纸教学内容第1页备注习题3-1参数曲线曲面有几种表示形式？(1)代数形式一条三次曲线的代数形式是：zzzzyyyyxxxxatatatatztatatatatyatatatatx012233012233012233)(]1,0[)()((2)几何形式描述参数曲线的条件有：端点位矢、端点切矢、曲率等。]1,0[)(11001100tPGPGPFPFtP上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，F0，F1，G0，G1称为调和函数（或混合函数）。习题3-2设有控制顶点为P0(0,0)，P1(48,96)，P2(120,120)，P3(216,72)的三次Bézier曲线P(t)，试计算P(0.4)的(x,y)坐标，并写出(x(t),y(t))的多项式表示。332212033322120333221203332212033,30)1(3)1(3)1()()1(3)1(3)1()(64.8012.6972216064.0120120288.09648432.000216.0)4.0()4.0(8.1)6.0(2.1)6.0()4.0()1(3)1(3)1()()(ytyttyttyttyxtxttxttxttxPPPPPPtPttPttPttBPtPiii习题3-5设一条三次Bézier曲线的控制顶点为P0，P1，P2，P3。对曲线上一点P(0.5)，及一个给定的目标点T，给出一种调整Bézier曲线形状的方法，使得P(0.5)精确通过点T。根据Bézier曲线的递推算法，构造过程：教案用纸教学内容第2页备注习题3-6计算以(30,0)，(60,10)，(80,30)，(90,60)，(90,90)为控制顶点的4次Bézier曲线在t=1/2处的值，并画出deCasteljau三角形。习题3-8用deBoor算法，求以(30,0)，(60,10)，(80,30)，(90,60)，(90,90)为控制顶点，以T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]为节点向量的三次B样条曲线在t=1/4处的值。∵k=4，n=4，k－1≤j≤n即3≤j≤4∴5个控制顶点控制两段三次B样条曲线，分别在区间[t3,t4)和[t4,t5)∵t3≤t=1/4≤t4∴P(t=1/4)在第一段三次B样条曲线上，t∈[t3,t4)，该段曲线只与前四个顶点相关由deBoor递推公式jrkjrkjikrtPtttttPttttjkjkjirPtPriirkirkiriirkiiiri,,2,1;1,,2,1),()(,,2,1,0,)(]1[1]1[][及T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]，可得：TP3P0P2P1)90,90(4P)75,90(13P)60,5.87(22P)25.46,5.82(31P)375.34,75(40P)0,30(0P)10,60(1P)30,80(2P)60,90(3P)45,85(12P)20,70(11P)5,45(10P)5.32,5.77(21P)5.12,5.57(20P)5.22,5.67(30P教案用纸教学内容第3页备注)41()3125.15,4375.43(2121)21(22)625.20,875.46(4341)1()10,40(2121)21(22)5.37,5.82(4341)1()15,35(4341)1()5,45(2121)21(22]2[2]2[3]2[2]2[3]2[2344]2[3343]3[3]1[2]1[3]1[2]1[3]1[2355]1[3353]2[3]1[1]1[2]1[1]1[2]1[1244]1[2242]2[2232323663363]1[3121212552252]1[2010101441141]1[1PPPPttPPttttPttttPPPPttPPttttPttttPPPPttPPttttPttttPPPPttPPttttPttttPPPPttPPttttPttttPPPPttPPttttPttttP习题3-11Q，Q1，Q2，S1，S2是平面上的5个点。请设计一条均匀三次B样条曲线，使曲线经过这5个点，且满足如下设计要求：(1)在Q1，Q2点与QQ1，QQ2相切；(2)分别在Q，Q1和Q，Q2间生成一段直线段；(3)在Q是一尖点。答：首先了解均匀三次B样条曲线的端点性质。对于每一段曲线，已知：k=4，n=3，T=[0,1,2,3,4,5,6,7]所以：k－1≤j≤n即j=3，t∈[t3,t4)起点：t=32100112]1[1]1[2]1[1]1[2]2[2]2[2]2[3]3[3613261)3132(21)3231(2121212422)4()3()3(PPPPPPPPPPtPtPPtPtPP教案用纸教学内容第4页备注同理，终点：t=4321]1[2]1[3]2[3]2[2]2[3]3[36132612121)4()3()4(PPPPPPPtPtPP起点和终点的切线方向：)(21)4()(21)3(1302PPPPPP要求(1)：为了使均匀三次B样条曲线和某一直线相切，则P1，P2，P3位于直线上。要求(2)：若要得到一条直线段，只要P1,P2,P3,P4四点位于一条直线上。要求(3)：为了使曲线能过尖点Q，只要使P3,P4,P5,Q重合。P0P1P2P3,P4,P5S1Q1P6QP8S2Q1P7P4P5P4P5