积分计算超强总结(循环递推法)!!

1循环递推法循环递推法是积分计算的一种重要的辅助方法．对于某些积分问题，在通过换元积分法或分部积分法处理后，尽管没有得到原函数的初等表达式，但重新得到了原积分的表达式)1(kAkII．这样，实际上也就得到了需要的结果了，这种方法称为循环递推法．这里需要注意的是：若I表示的是不定积分，等式另一边的I虽然表示的是同一个函数的不定积分，但是应该有一个常数的差别．所以在移项合并时，必须留下一个常数．利用循环递推法计算不定积分时，因为不定积分的计算结果与积分变量的名称有关，所以比较适合用分部积分法，而这时换元积分法恐怕是没有用的．【例1】求xxdearccos．【解】xxxxxIxxxde1edearccos2arccosarccos2arccosarccos1deexxxxxxxxxxde1eearccos2arccosarccosIxxxx2arccosarccos1ee．所以CxxIxx21ee22arccosarccos，即CxxIx)1(e212arccos．【例2】求xxd)sin(ln．【解】xxxxxxId)cos(ln)sin(lnd)sin(lnIxxxxxxxxxx)cos(ln)sin(lnd)sin(ln)cos(ln)sin(ln，所以CxxxxI)]cos(ln)[sin(ln2．【例3】求xxd12．【解】xxxxxxxxxxxxId11)1(1d11d12222222xIxxarcsin12．所以，有CxxxI)arcsin1(212．【注】本题用换元txsin的方法，一样可以得到结果，但还要用到三角倍角公式和回代的过程，略显麻烦．【例4】求xxxde)1(222．2【解】xxxxxxxxdedede)1(22222222xxxxxxxxdedee22222222Cxx22e．【注】本例中没有出现循环递推的形式，所以放在这里是为了提醒大家当出现I减I的时候，不能将它们完全抵消，而要留下一个任意常数．上述问题也可以改作为用循环递推法计算定积分的例子，这意义就不大了．下面举几个原函数不是初等函数的定积分计算例子，注意到定积分值与积分变量名称无关，可以考虑使用换元法．为了与原积分baxxfd)(可以做比较，必须保持积分区间],[ba不变，翻折变换tbax可以达到此目的．所谓翻折变换是以区间],[ba的中点为不动点的翻折．【例5】求40)dtanln(1xx．【解】在翻折变换tx4下，有400440)]dtan(1ln[ln2)dtan1tan1ln(1)dtanln(1tttttxxII2ln4，所以，有2ln8I．【例6】求02dcos1sinxxxx．【解】在翻折变换tx下，有020202dcos1sindcos1)sin(dcos1sinItttttttxxxxIIIt2)arctan(cos20，所以，有42I．