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试卷第1页，总11页高中数学平面向量单元专题训练卷（解析版）一、单选题1．如图，在△ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由三角形的重心分各条中线为1：2得解．解：由条件可知G为△ABC的重心，由三角形重心的性质可知，故C不正确．故选项为C2．如图，在ΔABC中，AD=DB，AE=CE，CD与BE交于点F,设AB =a ，AC =b ，AF =xa +yb ，则(x,y)为（）A．(13,13)B．(12,12)C．(13,23)D．(23,13)【答案】A【解析】【分析】延长AF交BC于点M，由于AD=DB，AE=CE，CD与BE交于点F，可知：点F是ΔABC的重心．利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得出．【详解】如图所示，延长AF交BC于点M，∵AD=DB，AE=CE，CD与BE交于点F，试卷第2页，总11页∴点F是ΔABC的重心.∴AF ＝23AM ，AM ＝12(AB +AC )．∴AF ＝13(AB +AC )=13a +13b ．∵AF =xa +yb ，∴x＝y＝13．∴(x,y)）为(13,13)．故选A.．【点睛】本题考查了三角形重心的性质和向量的平行四边形法则，属于基础题．3．ΔABC中，120BAC，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]【答案】D【解析】试题分析：D是边BC上的一点（包括端点），所以可设)10()1(ACABAD120BAC，AB=2，AC=1，,1120120COSACAB•)()1(ABACACAB2714)12()1()12(22ACABACAB因为10，所以722,5.考点：平面向量共线定理及平面向量数量积的定理.4．已知向量m =−1,2，n =1,λ，若m ⊥n ，则m +2n 与m 的夹角为（）A．2π3B．3π4C．π3D．π4【答案】D【解析】依题意，m•n=0，即−1+2λ=0解得λ=12，故m+2n=(−1,2)+(2,1)=(1,3)，则m+2n试卷第3页，总11页与m的夹角的余弦值cosθ=510•5=22，故θ=π4.选D.5．已知点(3,3),(3,3),PQO为坐标原点，动点(,)Mxy满足||12||12OPOMOQOM，则点M所构成的平面区域的面积是（）A.12B.16C.32D.64【答案】C【解析】试题分析：由于点(3,3),(3,3),PQO为坐标原点，所以设(,)Mxy.所以(3,3),(3,3),(,)OPOQOMxy.所以33,33OPOMxyOQOMxy.由||12||12OPOMOQOM可得123312123312xyxy.所以可行域是一个对角线为8的正方形，所以面积为188322S.故选C.考点：1.向量的数量积.2.线性规划.3.绝对值不等式的解法.6．已知OA 与OB 不共线,若点C满足OC =λOA +(2−λ)OB ,点C的轨迹是（）A．直线B．圆C．抛物线D．以上都不对【答案】A【解析】试题分析：不妨设OA ,OB 是两个相互垂直的单位向量，设C(x,y),OA =(0,1),OB =(1,0)，由OC =λOA +(2−λ)OB ，得x=2−λy=λ，消去参数得x+y−2=0，故轨迹为直线.考点：向量运算、圆锥曲线定义．7．已知向量a ,b 满足|a |=1，a 与b 的夹角为π3，若对一切实数x，|xa +2b |≥|a +b |恒成立，则|b |的取值范围是（）A．[12,+∞)B．(12,+∞)C．[1,+∞)D．(1,+∞)【答案】C【解析】试题分析：对式子|xa→+2b→|≥|a→+b→|两边平方得，(xa→+2b→)2≥(a→+b→)2⇒x2a→2+4a→⋅b→x+4b→2≥a→2+2a→⋅b→+b→2，又a→与b→的夹角为π3，且|a→|=1，则有a→⋅b→=|b→|cosπ3=12|b→|，所以有x2+4x⋅12|b→|2+4|b→|2≥1+|b→|+|b→|2⇒x2+2|b→|x+3|b→|2−1−|b→|≥0，此式试卷第4页，总11页对一切实数x恒成立，所以有Δ=4|b→|2−4(3|b→|2−1−|b→|)≤0，即有：2|b→|2−|b→|−1≥0⇒|b→|≥1或|b→|≤-12，取|b→|≥1．考点：向量的数量积，|a→|2=a→2，恒成立问题（二次函数与其判别式），一元二次不等式．8．在ABC中，5a，8b,60C，则BCCA的值等于（）A．20B．20C．203D．203【答案】B【解析】试题分析：由向量夹角的定义可知，BC与CA的夹角为C补角即120，由平面向量数量积的定义可知20)21(85120cosCABCCABC，故选B.考点：平面向量的数量积.9．已知,ab为单位向量，0abc，则c的最大值为A．1B．3C．2D．3【答案】C【解析】2222221122cababababab,选C.10．已知单位向量a ,b 满足a +b =a −b ，则a 与b −a 的夹角是()A．π6B．π3C．π4D．3π4【答案】D【解析】因为a +b =a −b ，所以a b ，cosa ,b −a =a ⋅(b −a )|a ||b −a |=−11×2=−22⇒a ,b −a =3π4，选D.11．已知向量a =2,3,b =cosθ,sinθ，且a //b ，则tanθ=（）A．32B．−32C．23D．−23【答案】A【解析】【分析】根据向量平行坐标表示得方程，解得tanθ的值.试卷第5页，总11页【详解】由a //b ，可知2sinθ−3cosθ=0，解得tanθ=32，故选A.【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力.12．如图，ABC的外接圆的圆心为O,7,3,2BCACAB，则BCAO等于（）A．23B．25C．2D．3【答案】B．【解析】试题分析：取BC边上的中点为D点，连接AD．则BCAOBCDOAD)(BCADBCDOABACACABBCAD)(2125)(2122ACAB．故应选B．考点：平面向量的数量积的应用．二、填空题13．若单位向量,ab满足22ab，则向量,ab的夹角的余弦值为__________．【答案】34【解析】设向量,ab的夹角为，∵22ab,∴222ab，,ab为单位向量，即22442aabb，则44cos12，∴3cos4,故答案为34.14．如图所示，两射线OA与OB交于O，下列向量若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是.试卷第6页，总11页①2OA −OB ②34OA +13OB ③12OA +13OB ④34OA +15OB ⑤34OA −15OB 【答案】②【解析】略15．已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |=1,|b |=3，则【答案】【解析】本题考查平面向量数量积的计算和平面向量模的概念，其中主要的考查点是|a |2=a ·a ，这个关系揭示了平面向量的数量积和模的关系。本题也可以根据向量减法的几何意义，通过余弦定理解决，实际上我们在中的计算式就是余弦定理的计算式。根据向量模的含义|a −b |2=(a −b) ·(a −b) =|a |2+|b |2−2a ·b ，讲已知代入即可。解：|a −b |2=(a −b) ·(a −b) =|a |2+|b |2−2a ·b =1+9−2×1×3×(−12)=13，故|a −b |=13。16．向量a ,b 满足a =1,a −b =32，a 与b 的夹角为60°，则b =__________．【答案】12【解析】分析：由a =1,a −b =32，得a 2−2a ⋅b +b 2=34，代入a =1，可得(2b −1)2=0，即可求解b .详解：由a =1,a −b =32，可得(a −b )2=34，即a 2−2a ⋅b +b 2=34，代入a =1，可得1−2×1⋅b ×12+b 2=34，整理得(2b −1)2=0，解得b =12.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算与应用，熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三、解答题试卷第7页，总11页17．.已知向量(1,2),(2,3)ab．(1)若(3)//()abakb，求k的值；(2)若()amab，求m的值.【答案】（1）3(1,9),(12,23)abakbkk1(32)(9)(12)0kk即13k(2)(2,23)()42(2)(23)05mabmmamabmmm又即【解析】略18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a =−1,2，又点A8,0，Bn,t，Cksinθ,t，θ∈R.（1）若AB ⊥a ，且AB =5OA ，求向量OB ；（2）若向量AC 与向量a 共线，常数k0，求fθ=tsinθ的值域.【答案】（1）24,8或−8,−8；（2）当k4时fθ的值域为−2k−16,32k.0k≤4时fθ的值域为−2k−16,−2k+16.【解析】【分析】（1）AB =（n﹣8，t），由AB ⊥a ，且AB =5OA ，可得﹣（n﹣8）+2t=0，n−82+t2=85，联立解出即可得出；（2）AC =（ksinθ﹣8，t），由向量AC 与向量a 共线，常数k＞0，可得t=﹣2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=−2ksinθ−4k2+32k，对k分类讨论，利用三角函数的值域、二次函数的单调性即可得出．【详解】（1）AB =n−8,t，∵AB ⊥a ，且AB =5OA ，∴−n−8+2t=0，n−82+t2=85，解得t=±8，t=8时，n=24；t=−8时，n=−8.∴向量OB =24,8或OB =−8,−8.（2）AC =ksinθ−8,t，∵向量AC 与向量a 共线，常数k0，∴t=−2ksinθ+16，∴fθ=tsinθ=−2ksin2θ+16sinθ=−2ksinθ−4k2+32k.试卷第8页，总11页①当04k1即k4时，当sinθ=4k时，fθ=tsinθ取得最大值32k，sinθ=−1时，fθ=tsinθ取得最小值−2k−16，此时函数fθ的值域为−2k−16,32k.②当4k≥1即0k≤4时，当sinθ