函数新定义问题训练

1函数中的定义型问题训练一、选择题1.定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，如果函数g(x)＝12x2(x∈(0，＋∞))，h(x)＝sinx＋2cosx，x∈(0，π)，φ(x)＝－xe－2x的“新不动点”分别为α、β、γ，那么α、β、γ的大小关系是()A．αβγB．αγβC．γαβD．βαγ2.对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是()A．f(x)＝xB．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)3.定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对于任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．34.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：kfxfxkfxkfxk，取函数2xfxxe，若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有kfxfx，则()A．k的最大值为2B．k的最小值为2C．k的最大值为1D．k的最小值为15.对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意实数x均有|f(x)－g(x)|≤1，那么称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m(x)＝x2－3x＋4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是()A．[3,4]B．[2,4]C．[2,3]D．[1,4]二、填空题6.若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)3；③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sinx；④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tanx；⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝lnx.27.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在0,2上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.8.已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝24x关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．9.给定区间D，对于函数f(x)，g(x)及任意的x1，x2∈D(其中x1x2)，若不等式f(x1)－f(x2)g(x1)－g(x2)恒成立，则称函数f(x)相对于函数g(x)在区间D上是“渐先函数”．已知函数f(x)＝ax2＋ax相对于函数g(x)＝2x－3在区间[a，a＋2]上是渐先函数，则实数a的取值范围是________．10.函数f(x)的定义域为D，对D内的任意x1、x2，当x1x2时，恒有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)为非减函数．已知f(x)是定义域为[0,1]的非减函数，满足①f(0)＝0，②对任意x∈[0,1]，有f(1－x)＋f(x)＝1，③对于x∈[0，13]，32fxx恒成立，则3579ff的值为________．三、解答题11.对于定义在D上的函数y＝f(x)，若同时满足(1)存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f(x1)＝c(c是常数)；(2)对于D内任意x2，当x2[a，b]时，总有f(x2)c.称f(x)为“平底型”函数．判断f1(x)＝|x－1|＋|x－2|，f2(x)＝x＋|x－2|是否是“平底型”函数？简要说明理由．12.已知实数k∈R，且k≠0，e为自然对数的底数，函数1xxkefxe，g(x)＝f(x)－x.(1)如果函数g(x)在R上为减函数，求k的取值范围；(2)如果k∈(0，4]，求证：方程g(x)＝0有且只有一个根x＝x0；且当xx0时，有xf(f(x))成立；(3)定义：①对于闭区间[s，t]称差值t－s为区间[s，t]的长度；②对于函数g(x)，如果对任意x1、x2∈[s，t]D(D为函数g(x)的定义域)，记h＝|g(x2)－g(x1)|，h的最大值称为函数g(x)在区间[s，t]上的“身高”．问：如果k∈(0，4]，函数g(x)在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？13.设a是实数，函数f(x)＝ax2＋(a＋1)x－2lnx．（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；（2）当a＝2时，过原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D上的函数y＝g(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：y＝h(x)，当x≠x0时，3若0gxhxxx＜0在D内恒成立，则称点P为函数y＝g(x)的“巧点”．当a＝14时，试问函数y＝f(x)是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．14.若存在实数x0与正数a，使x0＋a，x0－a均在函数f(x)的定义域内，且f(x0＋a)＝f(x0－a)成立，则称“函数f(x)在x＝x0处存在长度为a的对称点”．(1)设f(x)＝x3－3x2＋2x－1，问是否存在正数a，使“函数f(x)在x＝1处存在长度为a的对称点”？试说明理由；(2)设g(x)＝x＋bx(x＞0)，若对于任意x0∈(3，4)，总存在正数a，使得“函数g(x)在x＝x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．15.已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx.(1)当a＝1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a＝－1时，过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，设切点为P(m，n)，求实数m的值；(3)设定义在D上的函数y＝g(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：y＝h(x)，当x≠x0时，若00gxhxxx在D内恒成立，则称P为函数y＝g(x)的“转点”．当a＝8时，试问函数y＝f(x)是否存在“转点”？若存在，请求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．16.若斜率为k的两条平行直线l，m经过曲线C的端点或与曲线C相切，且曲线C上的所有点都在l，m之间(也可在直线l，m上)，则把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d(k)．(1)若曲线C：y＝2x2－1(－1≤x≤2)，求d(－1)；(2)已知k2，若曲线C：y＝x3－x(－1≤x≤2)，求关于k的函数关系式d(k)．417.已知函数f(x)＝x－1－lnx.(1)求函数f(x)的最小值；(2)求证：当n∈N*时，1111...231nen；(3)对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b都成立，则称直线y＝kx＋b是函数h(x)与g(x)的“分界线”．设函数h(x)＝12x2，g(x)＝e[x－1－f(x)]，试问函数h(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，b的值；若不存在，说明理由．18.对于函数f(x)，若存在实数对(a，b)，使得等式f(a＋x)·f(a－x)＝b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(a，b)型函数”．(1)判断函数f(x)＝4x是否为“(a，b)型函数”，并说明理由；(2)已知函数g(x)是“(1,4)型函数”，当x∈[0,2]时，都有1≤g(x)≤3成立，且当x∈[0,1]时，g(x)＝x2－m(x－1)＋1(m0)，试求m的取值范围．5函数中的定义型问题训练答案解析1.【解析】由定义，令g′(x)＝x＝12x2，得α＝2；对于h(x)＝sinx＋2cosx，x∈(0，π)，令h′(x)＝cosx－2sinx＝sinx＋2cosx，得β∈(34，π)；对于φ(x)＝－xe－2x，令φ′(x)＝－xe－2＝－xe－2x，得γ＝1.故γαβ，选C.2.【解析】由f(x)＝f(2a－x)知f(x)的图象关于x＝a对称，且a≠0，A，C中两函数图象无对称轴，B中函数图象对称轴只有x＝0，而D中当a＝kπ－1(k∈Z)时，x＝a都是y＝cos(x＋1)的图象的对称轴．故选D3.【解析】①因为a*b＝lg(10a＋10b)，故(a*b)*c＝lg(10a＋10b)*c＝lg(10lg(10a＋10b)＋10c)＝lg(10a＋10b＋10c)，同理a*(b*c)＝a*(lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10b＋10c)，故“*”运算满足结合律；②据定义易知运算符合交换律；③(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c＝lg(10a＋10b)＋lg10c＝lg[(10a＋10b)10c]＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，故结论成立．综上可知①②③正确．4.【【解析】对任意x∈(－∞，＋∞)，恒有fk(x)＝f(x)成立，即f(x)≤k恒成立，∵f′(x)＝e－x－1，当x0时，f′(x)0;当x0时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，从而f(x)在x＝0时取到最大值f(0)＝1，∵f(x)≤k恒成立，∴k≥1，故选D.5.【解析】|m(x)－n(x)|≤1⇒|x2－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式，得2≤x≤3.故在区间[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2,3]上恒成立，故选C.6.【解析】①中由y＝x3得y′＝3x2.又当x＝0时，切线斜率为0，故函数y＝x3在点(0,0)处的切线方程为y＝0.结合图象知①正确．②中由y＝(x＋1)3得y′＝3(x＋1)2.又当x＝－1时，切线斜率为0，故函数y＝(x＋1)3在点(－1,0)处的切线方程为y＝0，故②不正确．③中由y＝sinx得y′＝cosx.又当x＝0时，切线斜率为1，故函数y＝sinx在点(0,0)处的切线方程为y＝x.结合图象知③正确．④中由y＝tanx得y′＝21cosx.又当x＝0时，切线斜率为1，故函数y＝tanx在点(0,0)处的切线方程为y＝x.结合图象知④正确．⑤中由y＝lnx得y′＝1x.又当x＝1时，切线斜率为1，故函数y＝lnx在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，结合图象可知⑤不正确．7.【答案】④6【解析】对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈0,2时，f″(x)0;对于②，f″(x)＝－21x，在x∈0,2时，f″(x)0;对于③，f″(x)＝－6x，在x∈0,2时，f″(x)0;对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈0,2时，f″(x)0恒成立，所以f(x)＝xex不是凸函数．8.【答案】(210，＋∞)【解析】由已知得242hxx＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－24x.h(x);g(x)恒成立，即6x＋2b－24x24x，3x