高中数学单元教学设计体例-从函数观点看

高中数学单元教学设计体例：一、单元知识结构图、单元内容解析；单元知识结构图：从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（1）从函数的观点看一元二次方程（2）从函数的观点看一元二次不等式单元内容解析：从函数角度去理解方程和不等式是数学的基本思想方法。在新课程标准中让学生通过结合一元二次函数的图像，判读一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。在从实际情境中抽象出一元二次不等式的经历过程中，进一步了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并试着用刚刚学习的几何去表示一元二次不等式的解集，借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。逐渐学会利用函数解决相关的数学问题，体会函数与方程及不等式之间的关系。新课标中再一次的帮助学生梳理初中数学的相关内容，通过函数与方程及不等式的教学体会数学的完整性。用函数观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和不等式，通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。（1）从函数观点看一元二次方程通过具体例子的分析，让学生构建“使函数值为0的实数x即函数的零点”“相应方程的根”“函数图像与x轴交点的横坐标”，初步形成用函数观点处理问题的能力。教学重点：结合二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。（2）从函数观点看一元二次不等式通过从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程，通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，突出体现数形结合的思想，培养学生用函数观点处理问题的能力。教学重点：通过从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想，培养学生用函数观点处理问题的能力。二、单元教学目标与目标解析；（1）单元教学目标一：了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系，学会利用函数图像判断函数零点的个数，体验函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想和方法。从学生熟悉的一元二次方程和二次函数入手，建立起方程的根与相应函数零点的联系，让学生了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系，体会函数与方程、数形结合、转化与化归思想，初步体验对具体例子进行数学抽象与概括，培养学生用函数观点处理问题的能力。（2）单元教学目标二：让学生从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程，理解一元二次不等式的概念，通过图像，理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系，理解并掌握一元二次不等式的求解过程，会求一元二次不等式的解集，培养学生用函数观点处理问题的能力。通过从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程，让学生经历如何把实际问题抽象成数学问题，通过回顾一元一次不等式与相应函数、方程的联系，类比学习一元二次不等式，在从特殊到一般深入探究的过程，学习探究数学问题的一般方法，培养学生利用函数观点处理问题的能力。在学生提炼解法的过程中，培养概括能力。三、单元教学问题诊断在初中阶段，学生已经学习了配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程根的方法，但用函数观点看一元二次方程意识比较淡薄，因此通过问题1，问题2，问题3，回顾一元二次方程与相应函数图像的关系，通过问题4进行进一步地整合；学生对具体例子进行数学抽象与概括能力相对薄弱，因此在给出二次函数的零点概念后，让学生自己抽象与概括；鉴于数学的严谨性要求以及学生用函数观点处理问题的意识淡薄，设置例1，例2以及例2的两个变式。教学难点：函数零点概念的抽象概括，培养学生用函数观点处理问题的能力。学生对于从实际情景中抽象出数学模型的过程比较薄弱，因此在教学中，教师应放慢节奏，从特例出发引导学生去发现规律：教学难点：从实际情景中抽象出数学模型的过程，理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。四、教学条件分析1、学生方面：已经学习了用函数观点看方程（组）与不等式；教师通过问题引导，让学生参与讨论，是学生在原有认知基础上构建“使函数值为0的实数x即函数的零点”“相应方程的根”“函数图像与x轴交点的横坐标”。2、多媒体方面：通过几何画板作图，观察，验证，培养学生利用函数观点处理问题的能力，体会函数与方程、数形结合与化归的数学思想和方法。利用几何画板作图，通过拖动二次函数图像上的点，观察点的纵坐标的变化，从而深刻理解函数利用函数观点处理问题的方法，体会数形结合的数学思想。五、课时教学环节与问题串结构第一课时：用函数观点看一元二次方程一、创设问题，引入新知问题1根据函数34y2xx的图像，求方程0342xx的根。（用几何画板作出图像并标记出与x轴交点的坐标）回顾：二次函数34y2xx的图像与x轴交点的横坐标就是方程0342xx的根。追问：已知二次函数34y2xx的函数值为0，求自变量x的值。（自变量x的值就是方程0342xx的根，就是二次函数图像与x轴交点的横坐标）给出二次函数零点的概念：我们把使y=0，即0342xx的实数x叫做函数34y2xx的零点。小结：方程0342xx的根是1，3函数34y2xx的图像与x轴交点的横坐标函数34y2xx的零点是实数1和3.问题2求函数44y2xx的零点？（用几何画板作出图像并标记出与x轴交点的坐标）小结：方程0442xx的根是2函数44y2xx的图像与x轴交点的横坐标是2函数44y2xx的零点是实数2.问题3求函数54y2xx的零点。（用几何画板作出图像）小结：方程0542xx没有实数根函数54y2xx的图像与x轴没有交点函数54y2xx没有零点.问题4探究二次函数)0(y2acbxax的零点。acb42000的根)0(02acbxax轴交点的横坐标的图像与xacbxax)0(y2的零点)0(y2acbxax【设计意图】回顾二次函数与相应一元二次方程的根的关系，发现：二次函数图像与x轴交点的横坐标就是相应方程的根；反之，使二次函数的函数值为0的自变量x的值就是相应方程的根，从而自然地给出二次函数零点的概念，使新知识与原有知识建立联系，完成在熟悉情境中学习新知识的过程。问题5对于一般的函数，你认为函数的零点该怎样定义？使函数值为0的实数x叫做函数的零点问题6如何探究函数的零点？函数是否有零点相应方程是否有实数根函数的图像与x轴是否有交点。问题7我们还学习过哪些函数？它们有没有零点？为什么？（一次函数，反比例函数，正比例函数......）二、应用举例，理解知识例1证明函数142xxy有两个不同的零点。例2已知二次函数cbxaxy2的部分对应值如下表：x-10y-11能否判断出函数的零点的个数？【设计意图】结论开放题，以表格的方式呈现函数，是函数的表示方法之一。在数形结合的解题思考过程中，培养学生分析问题、研究问题和解决问题的能力。变式1当51x时，函数)(42Raaxxy有两个零点，你能给出满足条件的一个实数a的值吗？这样的实数a有多少个？请求出满足条件的所有实数a的值。（对学生给出a的值，可以通过几何画板进行验证）【设计意图】引导学生从函数图像去判断函数的零点，培养学生用函数观点处理问题的意识和能力。变式2当51x时，关于x的方程)(042Raaxx有两个不同的实数根，求实数a的取值范围。【设计意图】通过把方程根的问题转化为相应函数零点的问题来思考，培养学生用函数观点处理问题的能力，引导学生思考方程有两个不同的实数根与函数有两个零点之间的关系。三、当堂练习，巩固知识：1.一次函数32xy的零点是。2.已知一次函数bxy与二次函数cbxxy2有相同的零点，求实数cb、的值。【设计意图】通过练习，巩固函数零点的概念。四、课堂小结，梳理知识（1）通过这堂课，你学到了什么？（2）给你留下印象最深的是什么？第二课时：一元二次不等式及其解法【设计思想】新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。【教材分析】本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。【学情分析】学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。【教学目标】知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法；过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力；情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。【教学重点】一元二次不等式的解法。【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。【教学策略】探究式教学方法（创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）【课前准备】教具：“几何画板”及PPT课件.粉笔：用于板书示范.【教学过程】一、创设情境，提出问题某同学去网吧上网，现有两家网吧A、B可去，上网不足一小时均按1小时计算收费,一次连续上网不得超过17个小时.网吧A每小时收费1.5元；网吧B收费原则如下：时间第1小时内第2小时内第3小时内依此类推……收费1.7元1.6元1.5元问题1：想一想，一次上网多长时间内能够保证选择去网吧A上网所需费用不大于去网吧B所需费用？设计意图：问题（1）的设置与上一章节数列知识关联，从旧知识中产生新问题.问题（2）的设置是想通过学生感兴趣的上网问题及计时收费问题引入，通过学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系——一元二次不等式.课件展示：设上网时间为x，则去网吧A所需费用为1.5x元；去网吧B所需费用为1.7＋1.6＋1.5＋…＋1.7－0.1（x－1）=20)35(xx，由题意知1.5x≤20)35(xx，整理得x2－5x≤0.（其解集为｛x|0≤x≤5｝所以，当上网时间在5小时以内时选择去网吧A）二、明确概念，探究解法由上面的研究，可得出一个不等式x2－5x≤0，由此明确概念.一元二次不等式：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.问题2：你能够解出这个一元二次不等式吗？请你试一试.教师此时可放手让学生尝试解这个一元二次不等式.设计意图：让学生自己动手尝试解决，形成自己的解决方法，完成对一元二次不等式解法的初步建构.学生情况预案：从以往的经验看，学生一般会有三种解决方式：（1）两边消掉x得出x≤5；因为x≥0，故得0≤x≤5.（2）将x2－5x≤0转化为050xx，或.050xx，（3）利用一元二次函数图象数形结合解决.课件预案:利用“几何画板”演示二次函数y=x2－5x的图象，引导学生观察点在函数图象上变化时横纵坐标的变化.（视情况而定，若有学生是画图象数形结合的话，就展示学生的成果）三、观察体会，归纳总结通过上面不等式的求解，学生自己可以体会数形结合思想的运用，同时更能感受三个二次之间的关系.此时，教师趁热打铁.问题3：试根据刚才解不等式