2020年高考数学山东卷-试题+答案详解

2020年高考数学山东卷第1页,共4页2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2x4},则A∪B=（）A.{x|2x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x4}D.{x|1x4}2.2i12i（）A.1B.−1C.iD.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（）2020年高考数学山东卷第2页,共4页A.()2,6B.(6,2)C.(2,4)D.(4,6)8.若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx的x的取值范围是（）A.[)1,1][3,B.3,1][,[01]C.[1,0][1,)D.[1,0][1,3]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线22:1Cmxny.（）A.若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n0，则C是圆，其半径为nC.若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为myxnD.若m=0，n0，则C是两条直线10.下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A.πsin(3x）B.πsin(2)3xC.πcos(26x）D.5πcos(2)6x11.已知a0，b0，且a+b=1，则（）A.2212abB.122abC.22loglog2abD.2ab12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且1()0(1,2,,),1niiiPXipinp，定义X的信息熵21()logniiiHXpp.（）A.若n=1，则H(X)=0B.若n=2，则H(X)随着1p的增大而增大C.若1(1,2,,)ipinn，则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm，则H(X)≤H(Y)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．2020年高考数学山东卷第3页,共4页15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BHDG∥，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．16.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1D为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在①3ac，②sin3cA，③3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC，它的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sin3sinAB=，6C，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知公比大于1的等比数列{}na满足24320,8aaa．（1）求{}na的通项公式；（2）记mb为{}na在区间*(0,]()mmN中的项的个数，求数列{}mb的前100项和100S．19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：3μg/m），得下表：2SOPM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；2020年高考数学山东卷第4页,共4页（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，2()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21.已知函数1()elnlnxfxaxa．（1）当ae时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．22.已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．2020年高考数学山东卷答案详解第1页,共11页参考答案一、单选题.1.【答案】C【解析】[1,3](2,4)[1,4)ABUU,故选C.2.【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(12)5iiiiiiii,故选D.3.【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060CC种.故选C4.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OAl；AB是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//mCD,根据线面垂直的定义可得ABm..∵40,//AOCmCD，∴40OAGAOC，∵90OAGGAEBAEGAE，∴40BAEOAG，∴晷针与点A处的水平面所成角40BAE.故选B.5.【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AB，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则()0.6PA，()0.82PB，0.96PAB，∴()PAB()()()PAPBPAB0.60.820.960.46∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.6.【答案】B【解析】∵03.28R,6T,01RrT，∴3.2810.386r,∴0.38rttItee，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t天，则10.38()0.382tttee，∴10.382te，∴10.38ln2t，∴1ln20.691.80.380.38t天.故选B.2020年高考数学山东卷答案详解第2页,共11页7.【答案】A【解析】AB的模为2，根据正六边形的特征，可得AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，结合向量数量积的定义式，可知APAB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，∴APAB的取值范围是()2,6，故选A.8.【答案】D【解析】∵定义在R上的奇函数()fx在(,0)上单调递减,且(2)0f，∴()fx在(0,)上也是单调递减,且(2)0f,(0)0f，∴当(,2)(0,2)x时，()0fx，当(2,0)(2,)x时，()0fx，∴由(10)xfx可得：021012xxx或或001212xxx或或0x解得10x或13x，∴满足(10)xfx的x的取值范围是[1,0][1,3]，故选D.二、多选题.9.【答案】ACD【解析】对于A，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，∵0mn，∴11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0mn，则221mxny可化为221xyn，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，此时曲线C表示双曲线，由220mxny可得myxn，故C正确；对于D，若0,0mn，则221mxny可化为21yn，nyn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；综上，ACD正确.2020年高考数学山东卷答案详解第3页,共11页10【答案】BC【解析】由函数图像可知22362T，则222T，排除A,当2536212x时，1y5322122kkZ，解得223kkZ，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx.而5cos2cos(2)66xx.故选BC.11【答案】ABD【解析】对于A，222221221abaaaa21