基于二叉树模型的期权定价

目录摘要.......................................................1ABSTRACT...................................................2第一章绪论...............................................31.1背景介绍......................................................31.2本文的主题...................................................3第二章预备知识...........................................42.1期权.........................................................42.2二叉树方法....................................................42.2.1方法概述........................................................42.2.2二叉树方法的优点和缺点..........................................62.2.3风险中性定价...................................................62.3Black-Scholes期权定价模型..................................72.3.1模型来源.........................................................72.3.2风险中性定价.....................................................72.3.3模型假设.........................................................82.3.4Black-Scholes期权定价公式........................................8第三章本论...............................................93.1期权定价的二叉树模型..........................................93.1.1参数确定.........................................................93.1.2资产价格树形....................................................113.1.3通过树形倒推....................................................113.1.4代数表达式......................................................123.2例子模拟计算和结果分析......................................123.3模型改进——三叉树...........................................15第四章结论..............................................17谢辞及参考文献............................................19谢辞.............................................................19参考文献.........................................................20附录......................................................22计算过程中涉及算法...............................................221摘要Black-Scholes期权定价模型为期权定价尤其是欧式期权定价提供了良好的解析结果，而Black-Scholes公式是此模型的核心，但是此公式并不能很好地求解出在很多衍生模型例如亚式期权以及美式期权中的解析解。二叉树方法作为一种数值方法，同时也是图论中一种重要方法，应用于期权定价问题中，它有了更特别的演变。本文利用二叉树方法计算期权定价的数值解，用二叉树方法迭代多次，求出较为准确的期权价格。通过B-S公式得出的结果与二叉树方法得到的结论对比，分析二叉树方法模拟的优点和缺点。同时，我们还要研究二叉树模拟的步数与预测结果和精度间的关系，从而更加深入了解二叉树方法。然而，我们在模型中设立了许多条件，这些都使模型离真实情况越来越远，我们必须不断发展模型，完善模型。三叉树方法正是二叉树方法的合适补充。关键词：二叉树方法，Black-Scholes模型，风险中性定价2ABSTRACTBlack-ScholesFormulaisthecoreofBlack-ScholesOptionPricingModelwhichprovidesapracticalmethodforoptionpricing.Ithasanalyticalsolutionswithgoodpropertiesinsomespecialsituations,forinstance,Europeanoptions.However,theanalyticalsolutionisdifficulttofindinmanyderivativemodelslikeAsianoptionsandAmericanoption.Asasortoftypicalstatisticalsimulationmethod,BinomialtreeplaysveryimportantrolesinGraphTheoryandothersignificantacademicfields.Whenitappliestotheoptionprice,binomialtreemethodhasmuchmorespecialuse.Themainideaisthatweputthebinomialtreeintoeffect,reapplythismethodandgetnumericalresultsofoptionprice.BycomparingtheresultsofBlack-Scholesformulawiththeresultsofbinomialtreemethod,wecometotheadvantagesanddisadvantagesofbothmethod.Meanwhile,thestudyofthestepsofbinomialtreemethodisalsoincludedtogetitsrelationshipwiththemethod’sresultsandaccuracy,whichleadsustounderstandthismethoddeeplyandrightly.However,wesetmanyextraconditions,whichpushesthesituationfurtherawayfromtherealsituation.Thesimplebinomialtreemethodissupposedtobeimprovedconstantlyincasethefinancemarketchangesceaselessly.Ternarytreeisagoodsupplementforthebinomialtree.Keywords:Binomialtreemethod,Black-Scholesoptionpricingmodel,Risk-neutralvaluation3第一章绪论1.1背景介绍金融数学这门学科是随着金融市场崛起后产生的一门衍生学科，作为为金融学和数学的交叉学科，它的主要想法就是收集大量金融市场中的实际数据，建立适当的数学模型并不断进行优化，利用一系列的现代数学工具（例如概率论、随机分析以及程序辅助）研究风险资产如金融衍生产品的定价，同时尽可能规避投资风险以及选择最优的消费投资策略。期权交易作为金融衍生品中的重要部分，18世纪后期在美国与欧洲市场有了初步的雏形，发展初期交易制度以及人们对这种新兴金融产品的认识还十分有限。那时的期权主要由商业自营者自己提出报价然后由出资人选择购买，因此商业自营者的报价一定会偏向于对自己有利的价格，正是由于这种不完备性期权交易的发展在当时一直受到各种因素的限制。到了1973年，横空出世的芝加哥交易所规范了期权合约标准了后期交易流程，使这种情况得到改善。期权相关的研究从这种金融衍生品诞生起就开始了，金融从业者和投资者们想要依靠各种不同数学以及计算机工具来分析期权，想要从供求机制引导的市场波动中找出期权变化发展的隐藏规律，从而使自己获得最大的利润。1973年，Black和Scholes得出的期权定价模型的出现是对于金融数学研究有重大意义，尤其是在期权定价方面，它是在金融市场的基本准则上建立的，模型在提出之后又经过不同的研究人员改进，基本符合市场的变化规律，并依此可以对未来的期权价格进行定价研究。令很多数学家和金融学家欣喜的一点就是Black和Scholes得出的期权定价模型在欧式期权的应用中有着性质优良的解析解，这一点让很多人眼前一亮同时也为其它更加复杂的衍生品的研究打下了良好的基础。随着这个模型的广泛应用，人们发现这个模型还是具有一定缺陷。正如很多这样的预测一样，在长期市场大环境下这个模型也许还有着不错的效果，然而金融市场越来越复杂，单纯的数学层面上的技术分析得到的结论往往不是那么尽如人意，于是人们开始不断的发展模型，向里面加入各种各样的新型变量，从而使其更加符合一小段时间下特定市场状况以得到更好的期权定价结果。但是这又带来另一个问题，随着模型越来越复杂，变量越来越多，计算模型的难度越来越大，求得解析解的情况已经很少，即使用一些现代的数学计算工具和软件，求解单个复杂的微分方程也是相当耗费时间和资源的，更不必说对于一些大的基金公司，要同时追踪上千上万只期权和股票，那么找到一个快速而且相对精准的计算方法就显得非常必要了。1.2本文的主题使用风险中性原则进行定价是Black-Scholes模型构造原则之一，此方法使得用这个模型得到的期权价格实质上是一个期望。其本身就是一个随机问题，那么我们要估计其数值解很自然的就可以想到数值模拟的算法。二叉树方法正是典型的的随机模拟算法之一，其思路清晰，且没有涉及过多复杂运算，是数值方法模拟的极优选择。对于计算机而言，如果采用数值模拟算法，就可以避免直接进行一些复杂微分方程的求数值解时不停地执行迭代循环的问题，4大幅提升计算机运算速度。这主要是基于以下原因，首先，二叉树方法简洁易懂，不需要过多的数学及统计基础，只是基于概率论以及利息理论等简单内容的算法，另外，作为计算机模拟方法，二叉树方法过程并不复杂，计算量相对较小，一般只需30步迭代即可求得比较精确的期权价格，还有二叉树方法作为简单的模拟方法还有很大的发展空间，比如三叉树以及有股息的二叉树都是简单二叉树方法的发展。第二章预备知识2.1期权期权又被叫做选择权，它是在期货的基础上产生的一种衍生金融工具。具体是指在未来一定时期可以进行买卖的权利，是买方向卖方支付一定数量的金额（权利金）后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以事先规定好的价格即执行价格向卖方购买或售出一定数量的特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。所以从本质上讲，期权的实