高等数学第七章：向量及其运算

1数量关系—第七章第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数2§7.1向量及其运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向解、投影3既有大小,又有方向的量叫做向量.向量•向量可用粗体字母、或加箭头的书写体字母表示.•以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量,记作AB.→例如,a、r、v、F或a、r、v、F.•向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.向量的表示法一、向量概念4如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.相等的向量经过平移后可以完全重合.•向量的相等与起点无关的向量,称为自由向量,简称向量.•自由向量5•向量的模向量的大小叫做向量的模.向量a、a、AB的模分别记为|a|、||a、||AB.•单位向量模等于1的向量叫做单位向量.•零向量零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.模等于0的向量叫做零向量,记作0或0.6•向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a//b.零向量认为是与任何向量都平行.7•共线向量与共面向量当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.设有k(k3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面.8二、向量的线性运算设有两个向量a与b,平移向量,使b的起点与a的终点重合,则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.1.向量的加法c=a+b三角形法则平行四边形法则9•向量的加法的运算规律(1)交换律a+b=b+a;(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).10•向量的减法向量b与a的差规定为b-a=b+(-a).•负向量•三角不等式|a+b||a|+|b|,|a-b||a|+|b|,等号在b与a同向或反向时成立.与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a.11当=0时,|a|=0,即a为零向量.向量a与实数的乘积记作a,规定a是一个向量,它的模|a|=|||a|,它的方向当0时与a相同,当0时与a相反.2.向量与数的乘法当=-1时,有(-1)a=-a.当=1时,有1a=a;12(1)结合律(a)=(a)=()a;(2)分配律(+)a=a+a;(a+b)=a+b.•向量与数的乘积的运算规律•向量的单位化于是a=|a|ea.设a0,则向量是与a同方向的单位向量,记为ea.||aa13例设ABC的三边cABbCAaBC===,,三边中点分别为D、E、F试用cba,,表示CFBEAD,,并证明0=++CFBEAD证ABCDEFBCABAD21+=ac21+=CABCBE21+=ba21+=ABCACF21+=cb21+=CFBEAD++)(23cba++=0=14定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则,0=-故.=即a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝a,0)(=-a=b=.ab=故15“”则例1.设M为MBACD解:ABCD对角线的交点,baACMA2-=BDMB2-=已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b.,,,MDMCMBMAba表示与试用=+ba=-ab)(21baMA+-=)(21abMB--=)(21baMC+=)(21abMD-=16给定一个点O及一个单位向量i就确定了一条数轴Ox.对于轴上任一点P,必有唯一的实数x,使OP=xi,并且并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系:点P实数x.实数x称为轴上点P的坐标.数轴与点的坐标17说明：三、空间直角坐标系空间直角坐标系y轴z轴原点x轴在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k,就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴,依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系,称为Oxyz坐标系.(2)数轴的的正向通常符合右手规则.(1)通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;18在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.•坐标面三个坐标面分别称为xOy面,yOz面和zOx面.•卦限坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,分别用字母I、II、III、IV等表示.19向量的坐标分解式++=++==OROQOPNMPNOPOMr,以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体,有任给向量r,对应有点M,使r=OM.设ixOP=,jyOQ=,kzOR=,则kjirzyxOM++==.++=++==OROQOPNMPNOPOMr,20则kjirzyxOM++==.•上式称为向量r的坐标分解式.•xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系任给向量r,存在点M及xi、yj、zk,使•有序数x、y、z称为向量r的坐标,记作r=(x,y,z);•有序数x、y、z也称为点M的坐标,记为M(x,y,z).),,(zyxzyxOMM++==kjir.•向量称为点M关于原点O的向径.=OMr21坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.例如:•点M在yOz面上,则x=0;点M在zOx面上的点,y=0;点M在xOy面上的点,z=0.•点M在x轴上,则y=z=0;点M在y轴上,有z=x=0;点M在z轴上的点,有x=y=0.•点M为原点,则x=y=z=0.坐标轴上及坐标面上点的特征22四、利用坐标作向量的线性运算设),,,(zyxaaaa=,),,(zyxbbbb=则=ba),,(zzyyxxbababa=a),,(zyxaaa,0时当axxab=yyab=zzab==xxab=yyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数23例2求解以向量为未知元的线性方程组=-=-byxayx2335,例2其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2).解如同解二元一次线性方程组,可得x=2a-3b,y=3a-5b.以a、b的坐标表示式代入,即得x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).24)1,1,1(212121++++++=zzyyxx,从而)(11++=OBOAOM因此)(-=-OMOBOAOM,解由于-=OAOMAM,-=OMOBMB,解例3已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数-1,在直线AB上求一点M,使=MBAM.这就是点M的坐标.由于解由于-=OAOMAM,-=OMOBMB,25说明:由得定比分点公式:,121++xx,121++yy++121zz,1时当=点M为AB的中点,于是得,221xx+,221yy+221zz+ABMoMAB+11),,(212121zzyyxx+++中点公式:261.向量的模与两点间的距离公式222zyx++=),,,(zyxr=设则有OMr=由勾股定理得因得两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxx-+-+-=对两点与,rOM=作OMr=OROQOP++=五、向量的模、方向角、投影27例4.求证以证:1M2M3M=21MM2)47(-2)31(-+2)12(-+14==32MM2)75(-2)12(-+2)23(-+6==31MM2)45(-2)32(-+2)13(-+6=3132MMMM=即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点28例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为,),0,0(zM,BMAM=因为2)4(-21+2)7(z-+=2325+2)2(z--+解得故所求点为及.),0,0(914M思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.29提示:(1)设动点为,)0,,(yxM利用,BMAM=得(2)设动点为,),,(zyxM利用,BMAM=得且例6.已知两点和解:求141=)2,1,3(-142,141,143-==BABABA30oyzx2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量ba,的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,r为其方向角.cosrx=222zyxx++=方向角的余弦称为其方向余弦.记作31oyzxrcosrx=222zyxx++=cosry=222zyxy++=cosrz=222zyxz++=方向余弦的性质:32例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:,21-,23-)20-计算向量)2,1,1(--=222)2(1)1(-++-2=,21cos=22cos-=,32,343(21=MM33例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为,,43求点A的坐标.,,43==则222coscos1cos--=41=因点A在第一卦限,故,cos21=于是(6=,21,22)21)3,23,3(=故点A的坐标为.)3,23,3(向径OA与x轴y轴的夹,6=AO且OAOAAO=343.向量在轴上的投影设点O及单位向量e确定u轴.任给向量r,作r=OM,再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M,则向量MO称为向量r在u轴上的分向量.设e=MO,则数称为向量r在u轴上的投影,记作Prjur或(r)u.35向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax,ay,az就是a在三条坐标轴上的投影,即ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.•性质3(a)u=(a)u(即Prju(a)=Prjua).•性质2(a+b)u=(a)u+(b)u(即Prju(a+b)=Prjua+Prjub);•性质1(a)u=|a|cos(即Prjua=|a|cos),其中为向量与u轴的夹角;投影的性质36解:因例.设358,mijk=++247,nijk=--求向量43amnp=+-在x轴上的投影及在y轴上的分向量.13xa=在y轴上的分向量为7yajj=故在x轴上的投影为54pijk=+-37练习1设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为11,3对角线的长为解：为边的平mnnm,||nm-)1,1,1(-=+nm)1,3,1(-=-nm3|=+nm11|=-nm,2kjn+-=,jim+=382.已知一个向量的终点为它在x轴、y轴、z轴上的投影为求此向量起点A的坐标。解答提示：设答案：39作业P3003,5,13,14,15,18,19